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第6章 代数系统初步 大连海事大学 计算机科学及技术学院 第3篇 代数系统 代数系统又称代数结构或抽象代数，是近代数学研究的主要对象。代数系统是指集合及其运算所组成的一个整体（或系统）。 我们研究代数系统主要是研究它的代数性质，即代数运算所表达的性质，而集合和映射是研究代数系统的基础。 典型的代数系统主要包括群、环、域、格及布尔代数等内容。 第6章 代数系统初步 定义代数结构之前，先说明在一个集合上的运算. 6.1 代数运算 1. 代数运算 定义 设X是个非空集合, f: Xn →X的映射，则称f为X中的一个n元运算。 其中n称为运算的元数或阶。 当n=1时，称f为一元运算， 当n=2时，称f为二元运算。（重点讨论二元运算） 注 X中的任意两个元素进行二元运算f之后，其运算结果仍然在X之中——封闭性 封闭性表明了n元运算及一般函数的区别。 例 在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算； 在集合论中，并及交是集合上的二元运算； 在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。 二元运算举例 设A={x|x=2n,nN } 问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？ 乘法运算： 对于任意的2r 、 2sA 2r2s = 2r+s A ∴乘法运算在A上封闭； 加法运算： 21+22 =6  A ∴加法运算在A上不封闭； 举例 判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？ (1)A1={0,1} (2)A2={1,2} (3)A3={x|x为素数} (4)A4={x|x为偶数} (5)A5={x|x为奇数} √ × √ √ × 22=4A2 23=6A3 2.   二元运算的性质 设 * 和ο是X上的二元运算， x,y,z ∈X，则 1) 封闭性： 若x,y∈X，则x*y∈X; 2) 可交换性：x*y=y*x; 3) 可结合性：x*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z; 4) 可分配性：若x*(yοz)=(x*y)ο(x*z) (yοz)*x=(y*x)ο(z*x) 则称*对ο可分配。 5) 吸收律：设*和ο是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，若有x*(xοy)=x, xο(x*y)=x . 则称*和ο满足吸收律。 例 实数集合上的加和乘运算是可交换和可结合的；减运算不可交换，乘运算对于加运算是可分配的。 二元运算性质举例 在N上定义两个二元运算*和△，对任意的x,y∈N，有： x*y=max(x,y) x△y=min(x,y) 验证：*和△满足吸收律。 解答 x*(x△y)= x*(min(x,y)) =max(x,min(x,y))= xy x=y xy max(x,y)= max(x,x)= max(x,x)= x x x x△(x*y)= x△(max(x,y)) =min(x,max(x,y))= xy x=y xy min(x,x)= x min(x,x)= x min(x,y)= x *和△满足吸收律 例1有理数集合Q上的二元运算*定义为a*b=a+b-ab, 问运算*是否可交换? 可结合? 解 a,b,c∈Q,有 ∵ a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a, ∴运算*是可交换的。 又∵(a*b)*c=(a+b-ab)*c= (a+b-ab)+c－ (a+b-ab)c = a+b-ab +c -ac-bc+abc = a+b +c -ab-ac-bc+abc a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+ b+c-bc－ a(b+c-bc) = a+b +c -ab-ac-bc+abc ∴ (a*b)*c = a*(b*c) , 故运算*是可结合的。 例2 A是非空集合，*是A上的二元运算，并a*b=b, 证明*是可结合的，但是不可交换。 证 a,b,c∈A, 有 (a*b)*c=b*c=c ; a*(b*c)=a*c=c; 故(a*b)*c= a*(b*c)， *是可结合的。 a*b=b ≠ b*a=a, 故*是不可交换的。 例3 *是A上的二元运算，对任意的a,b,c,d∈A,有 a*a =a, 且 (a*b)* (c*d) = (a*c)* (b*d) 求证：a*(b*c)=(a*b)* (a*c) 证 a,