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第3篇 代数系统篇 非负整数集及普通加法 +构成的代数系统中，没有 单位元。 ( )  设N为自然数集合，N,在xy=x+y-2*x*y运算下构成代数系统。 设G={0,1,2,3,4,5},为模6加法，则G, 中的6阶元是（ ）A. 5,0 B. 5,1 C. 4,3 D. 2,1 在Z,+中有3-5= 。 引 言   代数系统也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数结构。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。 抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数系统的主要研究对象就是各种典型的抽象代数结构。 例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。 第3-1章 代数结构 3-1-1 代数系统的概念 3-1-2 代数系统的运算及其性质 3-1-3 半群及含幺半群 3-1-4 群与子群 二元运算的定义及实例 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： (1) S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。 (2) S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。 3-1-1 代数系统的概念 加法运算是自然数集合N上的二元运算 例如： f：N×N→N,f(x,y)=x+y 减法运算不是自然数集合N上的二元运算。 也称N对减法运算不封闭。 除法运算不是实数集合R上的二元运算,因为0∈R,而0不能做除数。 n阶(n=2)实矩阵的集合Mn(R)上的乘法和加法。 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一元运算,简称为一元运算。 求一个数的相反数是整数集合Z，有理数集合Q， 和实数集合R上的一元运算。 (2)求一个数的倒数1/x是非零有理数集合Q*，非零 实数集合R*上的一元运算。 (3)幂集合P(s)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补运算～是P(s)上的一元运算。 (4) n阶(n=2)实矩阵的集合Mn(R)上求转置矩阵。 二．二元及一元运算的表示 2．表示二元或一元运算的方法 ---解析公式和运算表 表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。 解析公式就是函数表达式。 若f：S×S→S为S上的二元运算, 如果任意x，y ∈S , x及y运算结果是z,即 f(x, y)=z； 解析公式 运算表 有穷集S上的二元和一元运算运算表表示： 设R,*是代数系统，*是实数集合R上的二元运算， 使得对于R中任意元素x,y,都有x*y=x+y+xy, （1） 求4*6，7*3.（2） 求*运算的单位元。 解 ：4*6=34，7*3=31. 有穷集S上的二元和一元运算运算表表示： 列头元素 行头元素 例： 设S＝{1, 2}，给出P(S)上的运算～和 的运算表，其中全集为S。 解： {1} ~ai {1,2} {2} {1,2} {2} {1,2} {1} {2} {1} 例 设S＝{1, 2, 3 ,4}，定义S上的二元运算 如下：x y=(xy)mod 5， x,y∈S 求运算 的运算表。 解： (xy)mod 5 表示xy除以5的余数，运算表如下 1 2 3 4 代数系统的定义及实例 定义3-1-1.2 非空集合A和A上k个一元或二元运算f1 , f2 , … , fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记做A , f1 , f2 , …, fk。 例如:N,＋,Z,＋,·,R,＋,·都是代数系统,其中+和·分别表示普通加法和乘法。 P(S),∪,∩,~也是代数系统,其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算~。 设N为自然数集合，N,在xy=x+y-2*x*y运算下构成代数系统吗？ 在某些代数系统中存在着一些特定的元素,它们对于系统的一元或二元运算起着重要的作用,例如二元运算的单位元和零元。 在定义代数系统的时候,如果把含有这样的特定元素也作为系统的性质,比如规定系统的二元运算