31.长方体的模型功能之长方体中的一类特殊四面体.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 长方体的模型功能之长方体中的一类特殊四面体 模型解题法之十 四面体是立体几何体的“原子模型”(任意多面体都可以分割成四面体),也是高考试题的重要载体模型,尤其是有两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,更是受到高考命题者的特别喜爱. [母题结构]:(Ⅰ)在如图所示的四面体ABCD中,侧面ABD是等腰直角三角形,侧 面BCD是等腰三角形,且侧面ABD⊥侧面BCD,试把四面体ABCD放置到长方体中; (Ⅱ)在如图所示的四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,且AB⊥BC,试把四面体ABCD 放置到长方体中. [母题解析]:(Ⅰ)作长方体,使左侧面为正方形,把等腰直角ΔABD放置于 左侧面,等腰ΔBCD放置于底面,如图; (Ⅱ)把等腰直角ΔABC放置于底面,ΔACD放置于对棱面,如图; 1.放置方法 子题类型Ⅰ:(2006年福建高考试题)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=. (Ⅰ)求证:AO⊥平面BCD; (Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值; (Ⅲ)求点E到平面ACD的距离. [解析]:(Ⅰ)在长方体中作出四面体ABCD,如图,由O是BD的中点,BD=2,AB=AD=AO⊥BD, AO=1;又CB=CD=BD=2OC=,又CA=2OA2+OC2=AC2AO⊥OCAO⊥平面BCD; (Ⅱ)取AD的中点F,则OF∥AB,又OE∥CD∠EOF(或其补角)是异面直线AB与CD所成角;由OE =1,OF=,EF2=()2+12+()2=2EF=cos∠EOF=-AB与CD所成角的余弦值=; (Ⅲ)由OE∥CDOE∥平面ACD点E到平面ACD的距离=点O到平面ACD的距离h;由SΔACD=及VO-ACD=VA-OCDh=. [点评]:对于存在两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,有两种常见类型,对不同类型采用相应的放置方法. 2.解题功能 子题类型Ⅱ:(2012年四川高考理科试题)如图在三棱锥中平面平面 (Ⅰ)求直线与平面所成角的Ⅱ)求二面角的[解析]:(Ⅰ)在长方体中作出三棱锥平面平面PH ⊥平面∠PCH是直线与平面所成角CO⊥平面PC=2;由∠PAB=600AP=1PH=,OH=CH= tan∠PCH=直线与平面所成角的; (Ⅱ)设AP的中点为H,则∠CHO是二面角的平面角tan∠CHO=2二面角的 子题类型Ⅲ:(2007年课标高考试题)如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为 等边三角形,(BAC=900,O为BC中点. (Ⅰ)证明:SO⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值. [解析]:不妨设AB=2,由△SAB与△SAC均为等边三角形SA=SB=SC=AC=AB=2;又由(BAC=900BC=2OA=OB=OC= SO=;在长方体中作出四面体ABCD,如图; (Ⅰ)由SB=SCSO⊥BC;又由SO2+OA2=SA2SO⊥OASO⊥平面ABC; (Ⅱ)以O为坐标原点,OB,OA,OS所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标如图,则A(0,, 0),C(-,0,0),S(0,0,)=(,,0),=(0,,-),设平面SAC的法向量m= (x,y,z),由m=0,m=0x+y=0,y-z=0,令y=1得:m=(-1,1,1);同理可得:平面SBC的法 向量n=(0,1,0)二面角A-SC-B的余弦值=cosm,n=. [点评]:对存在两侧面垂直,且其中一面是直角三角形的四面体,把它放置于长方体中,并建系后,求平面法向量,要充分利用对称性,由其一同理可得其二. 4.子题系列: 1.(2015年北京高考试题)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,三角形VAB为等边三角形, AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点. (Ⅰ)求证:VB∥平面MOC; (Ⅱ)求证:平面MOC⊥平面VAB; (Ⅲ)求三棱锥V-ABC的体积. 2.(2015年重庆高考试题)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E 在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC. (Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE; (Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长. 3.(2011年重庆高考文科试题)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2, BC=CD=1. (Ⅰ)求四面体ABCD的体积; (Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的正切值. 4.(2012年四川高考文科试题)如图在三棱锥中点在平面内的射影