33.三弄对数不等式x÷(1+x)≤ln(1+x)≤x.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 三弄对数不等式≤ln(1+x)≤x 不等式≤ln(1+x)≤x的应用技法 当x-1时,对数不等式ln(1+x)≤x与指数不等式ex≥x+1等价,实质上,对数函数ln(1+x)还存在下界函数,由对数函数ln(1+x)的上、下界函数己生成一类绝佳的高考试题,我们现在关心的她生成高考试题的可能方向. [母题结构]:当x-1时,求证:≤ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时,等号成立. [母题解析]:当x-1时,①由ex≥x+1x≥ln(x+1)ln(1+x)≤x,当且仅当 x=0时,等号成立;②令f(x)=ln(1+x)-,则(x)=-= f(x)在(-1,0)內递减,在(0,+∞)递增f极小值(x)=f(0)=0f(x)≥0ln(1+x)≥,当且仅当x=0时,等号成立. 1.一弄:证明不等式 子题类型Ⅰ:(2008年山东高考试题)已知函数f(x)=+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数. (Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值; (Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(1,+∞),当n=2时,f(x)=+aln(x-1)(x)=;①当a≤0时,(x)0恒成立f(x)无极值;②当a0时,由(x)=0x0=1+1,1-1(舍去)f(x)在(1,x0)內单调递减,在(x0,+∞)单调递增f极小值(x)=f(1+)=(1+ln),无极大值; (Ⅱ)当a=1时,f(x)=+ln(x-1),由ln(x-1)≤x-2,要证f(x)≤x-1,只需证≤1;由x≥21-x≤-1|1-x|≥1≤≤1. [点评]:着意于对数不等式ln(1+x)≤x的一个简单变式:lnx≤x-1(当且仅当x=1时,等号成立)是本题突出的亮点,灵活运用对数不等式ln(1+x)≤x和其变式:lnx≤x-1是迎战高考的一个基本要求. 2.二弄:不等式恒成立 子题类型Ⅱ:(2006年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围. [解析]:①当a≤1时,由对数不等式ln(x+1)≥(x+1)ln(x+1)≥xf(x)≥ax对于x≥0恒成立;②当a1时,令g(x)=f(x)-ax,则(x)=ln(x+1)+1-a,由(x)=0x=ea-1-1g(x)在(,ea-1-1)内单调递减f(x)ax,不合题意.综上,实数a的取值范围是(-∞,1]. [点评]:着意于对数不等式构造已知不等式恒成立,求参数的取值范围是高考的常用命题手法;对此类问题可首先利用对数不等式求出必要条件,然后再证明该必要条件也是充分的,即得参数的取值范围. 3.三弄:联用指、对不等式 子题类型Ⅲ:(2013年课标Ⅱ高考试题)已知函数f(x)ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x0是f(x)的极值点求m并讨论f(x)的单调性Ⅱ)当m≤2时证明f(x)0. [解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(-m,+∞);由f(x)=ex-ln(x+m)(x)=ex-;由x=0是f(x)的极值点 m=1(x)=ex-(x)=ex+0(x)在(-1,+∞)内单调递增当x(-1,0)时(x)(0)=0 f(x)在(1,0)内单调递减当x(0,+∞)时(x)(0)=0f(x)在Ⅱ)当m≤2时f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),故只需证明f(x)=ex-ln(x+2)0;由ex≥x+1,ln(x+2)≤x+1f(x)0. [点评]:联用指数不等式ex≥x+1与对数不等式ln(1+x)≤x是解决即含ex,又含lnx的函数问题的有力工具. 4.子题系列: 1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若x(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. 2.(2007年山东高考试题)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数f(x)的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数n,不等式ln(+1)-都成立. 3.(2004年全国Ⅱ高考试题)已知函数f(x)ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数f(x)的最大值设0ab.证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由f(x)的定义域为(0,+∞),(x)=lnx+-1=lnx+;所以,x(x)≤x2+ax+1xlnx+1≤x2+ax+1lnx≤x+aa≥-1;(Ⅱ)①当0x1时,f