25.集合对的个数.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-25):集合对的个数(547) 1381 集合对的个数 [母题]Ⅰ(20-25):(2006年全国Ⅰ高考试题)设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( ) (A)50种 (B)49种 (C)48种 (D)47种 [解析]:分类:①若A中最大的数是1,则A是的子集,且B是{2,3,4,5}的非空子集,有20(24-1)=15种;②若A中最大的数是2,则A是{1}的子集,且B是{3,4,5}的非空子集,有21(23-1)=14种;③若A中最大的数是3,则A是{1,2}的子集,且B是{4,5}的非空子集,有22(22-1)=12种;④若A中最大的数是4,则A是{1,2,3}的子集,且B是{4,5}的非空子集,有23(21-1)=8种共有15+14+12+8=49种.故选(B). [点评]:集合对的个数问题是集合计数的重要问题;基本类型是满足A1∪A2∪…∪Ak={a1,a2,…,an}的集合有序组(A1,A2, …,Ak)的组数(称为集合对问题);基本解法是利用文氏图逐步按排元素. [子题](1):(2001上年海市高中数学竞赛(新知杯)试题)设A、B、Ai(1≤i≤k)为集合. (Ⅰ)满足A∪B={a,b}的集合有序对(A,B)有多少对？为什么？ (Ⅱ)满足A∪B={a1,a2,…,an}的集合有序对(A,B)有多少对？为什么？ (Ⅲ)满足A1∪A2∪…∪Ak={a1,a2,…,an}的集合有序组(A1,A2,…,Ak)有多少组？为什么？ [解析]:因(Ⅰ)、(Ⅱ)都是(Ⅲ)的特例,故只研究(Ⅲ):确定有序集合组(A1,A2,…,Ak),实质上,等价于把a1,a2,…,an这n个元素逐步按排到(A1,A2,…,Ak)中,按排a1,对于每个Ai都有:a1∈Ai,a1Ai两种情形,所以有2k种可能,但因A1∪A2∪…∪Ak={a1,a2,…,an},所以应排除a1A1,a1A2,…,a1Ak,这一种情形,故按排a1有2k-1种可能;同理按排ai都有2k-1种可能,由乘法原理知,(A1,A2,…,Ak)的组数为(2k-1)n. 注:满足A1∪A2∪…∪Ak={a1,a2,…,an}的集合有序组(A1,A2,…,Ak)的组数A(n,k)=(2k-1)n;该结论具有记忆价值. [子题](2):(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如果集合A,B同时满足A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1}就称有序集对(A,B)为“好集对”,这里有序集对(A,B)意指,当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对.那么“好集对”一共有( )个. (A)64 (B)8 (C)6 (D)2 [解析]:逐个考虑元素的归属:元素1必须同时属于A和B;元素2必须至少属于A、B 中之一个,但不能同时属于A和B,有2种选择:属于A但不属于B,属于B但不属于A;同 理,元素3和4也有2种选择.但元素2,3,4不能同时不属于A,也不能同时不属于B.所 以,4个元素满足条件的选择共有2×2×2-2=6种.故选(C). 注:对限制条件的集合对问题,利用文氏图,分类按排元素,这是集合计数的独特方法. [子题](3):(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设A∪B∪C={1,2,3,4,5,6},且A∩B={1,2},{1,2,3,4}B∪C,则符合条件的(A,B,C)共有 组(注:A,B,C顺序不同视为不同组). [解析]:将集合A∪B∪C可分为7个互不相交的区域,先安排元素1,2,可供选择的区域有2,5, 各有2种选法;再先安排元素3,4,可供选择的区域有3,4,6,7,各有4种选法;再先安排元素5,6, 可供选择的区域有1,3,4,6,7,各有5种选法(A,B,C)共有2×2×4×4×5×5=1600. 注:利用文氏图,A∪B可分为互不相交的22-1=3个部分;A∪B∪C可分为互不相交的23-1=7个部分;根据限制条件,分析各个元