25.阿波罗尼斯圆.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(15-25):阿波罗尼斯圆(399) 1027 阿波罗尼斯圆 [母题]Ⅰ(15-25):平面内到两定点的距离之比为正常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆. [解析]:设平面内两定点分别为A,B,且|AB|=2a, y 以点A,B所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线 P 为y轴,建立平面直角坐 标系,则A(-a,0),B(a,0), A B x 设P(x,y),由|PA|=λ|PB|得:|PA|2=λ2|PB|2 (x+a)2+y2=λ2[(x-a)2+y2](x-a)2+y2=()2,所以,动点P的轨迹是以(a,0)为圆心,||为半径的圆. 这样得到的圆就是阿波罗尼斯圆.阿波罗尼斯是古希腊数学家,他对圆锥曲线有深刻的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书.阿波罗尼斯圆是其研究成果之一. 在阿波罗尼斯圆:(x-a)2+y2=()2中,令y=0得:x=a,a;令M(a,0),N(a,0),则M、N分别为线段AB的定比为λ的内、外分点,由此得阿波罗尼圆的作法:作线段AB的定比为λ的内、外分点M、M,则以MN为直径的圆即为阿波罗尼圆. P 如图,一般地,阿波罗尼斯圆有如下性质: ①当λ1时,A在阿波罗尼斯圆外,B在阿波 A M B N 罗尼斯圆内;当0λ1时,A在阿波罗尼斯 圆内,B在阿波罗尼斯圆外; ②若AB=a,则阿波罗尼斯圆的半径r=;③若A(a,0),B(b,0),则阿波罗尼斯圆:(x-)2+y2=[]2;④若A(bλ2,0),B(b,0),则阿波罗尼斯圆:x2+y2=(bλ)2. [点评]:高考改革始终以对考生后继学习潜力与研究素质的考查为最高目标.其中,以某些历史名题或科学家尤其是数学家的研究成果为背景材料改造设计成的高考题,为广大中学师生津津乐道,也深受高等学校的专家、教授们的青睐,以阿波罗尼圆为背景的高考题就是其中一个典型的例子.从以下子题可以看出高考命题专家对阿波罗尼圆的青睐.建立在“阿波罗尼圆”背景上的高考题从未间断过. [子题](1):(2006年四川高考试题)已知两定点A(-2,0)、B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则|AB|=,λ=2),所以,圆的面积为4π.故选(B). 注:本题直接考察阿波罗尼斯圆,是阿波罗尼斯圆的直接问题,源于如下的教材习题; (《选修Ⅱ》(人教A版)P134习题4.1.B组第3题)已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为,求点M的轨迹方程. 解:设M(x,y),由|MA|=2|MO|(x-3)2+y2=4(x2+y2)(x+1)2+y2=4. [子题](2):(2008年四川高考试题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|= |AF|,则△AFK的面积为( ) 1028 [母题]Ⅰ(15-25):阿波罗尼斯圆(399) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 [解析]:由抛物线C的焦点为F(2,0),准线为x=-2K(-2,0);由|AK|=|AF|点A在阿波罗尼斯圆:(x-6)2+y2=32上, 代入y2=8x得:x2-4x+4=0x=2|y|=4△AFK的面积=|FK||y|=8.故选(B). 注:本题把阿波罗尼斯圆与抛物线结合设计试题,是阿波罗尼斯圆的综合问题,同构的高考试题有: (2002年全国高考试题)已知点P到两个