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[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 平面区域的基本试题类型 作平面区域的基本方法 作出线性约束条件所表示的平面区域是线性规划的基础,也是高考的一个命题点;着意于平面区域的高考试题可分为三类:平面区域的形状、面积和平面区域的直观分析.解决的关键都是作出约束条件所表示的平面区域. [母题结构]:作出线性约束条件所表示的平面区域. [解题程序]:作平面区域的基本程序是:①把约束条件中的不等号变为等号,得到区域边界的直线方程;②求出两两直线的交点,在直角坐标系内标出这些点,并连线;③利用平面区域定理确定约束条件所表示的区域. 1.平面区域的形状 子题类型Ⅰ:(2007年北京高考理科试题)若不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )(A)a≥ (B)0a≤1 (C)1≤a≤ (D)0a≤1,或a≥ [解析]:由不等式x-y≥0,2x+y≤2,且y≥0对应的可行域为△OAB,其中A(,),B(1,0), 过点O、A、B分别作斜率都等于-1的直线l1、l2、l3,要使得原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线l:x+y=a应位于直线l1与l3之间(包括l3),或位于直线l2的右上方(包括l2) 0a≤1,或a≥.故选(D). [点评]:对含参数的约束条件所表示区域的形状,可先作出不含参数的约束条件所表示的区域,再变动含参数的直线. 2.平面区域的面积 子题类型Ⅱ:(2015年重庆高考试题)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( ) (A)-3 (B)1 (C) (D)3 [解析]:如图,由于不等式组表示的平面区域为ΔABC,其中,A(2,0),B(1-m,m+1), C(,)SΔABC=|(-m-1)-(m+1)(-)|=(m+1)2;由SΔABC= m=-3或m=1;又由点C在直线AB的下方m-1m=1.故选(B). [点评]:求三角形面积可利用公式:在△ABC中,如果=(x1,y1),=(x2,y2),则三角形ABC的面积S=|x1y2-x2y1|. 3.平面区域的直观分析 子题类型Ⅲ:(2010年福建高考试题)设不等式组,所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω1与Ω2关于直线 3x-4y-9=0对称,对于Ω1中的任意A与Ω2中的任意点B,|AB|的最小值等于( ) (A) (B)4 (C) (D)2 [解析]:约束条件表示的可行域Ω1是△ABC区域,其中A(1,1),B(1,2),C(3,3),在区域△ABC 中,点A(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最小,最小值=2,根据对称性|AB|的最小值等于=4. [点评]:利用平面区域可以构造多种形式的高考试题,但万变不离其宗,作出约束条件所表示的平面区域是解题的根本. 4.子题系列: 1.(2008年湖北高考试题)在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组 的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的( ) 2.(2007年北京高考文科试题)若不等式组所表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( ) (A)a5 (B)a≥7 (C)5≤a7 (D)a5,或a≥7 3.(2006年浙江高考试题)在平面直角坐标系中,不等式组,表示的平面区域的面积为( ) (A)4 (B)4 (C)2 (D)2 4.(2009年安徽高考试题)不等式组所表示的平面区域的面积等于( ) (A) (B) (C) (D) 5.(2014年安徽高考试题)不等式组表示的平面区域的面积为 . 6.(2009年安徽高考试题)不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是( ) (A) (B) (C) (D) 7.(2008年安徽高考试题)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( ) (A