14.构造等腰三角形.妙解一类三角形.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 构造等腰三角形.妙解一类三角形 巧解决已知两内角差的三角形问题 在△ABC中,已知已知两内角C与A的差,即C-A=θ,解△ABC问题是高考中的一类特殊问题,通过构造构造等腰三角形,可妙解该类问题. [母题结构]:在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若C-A=θ,求证:存在正数x,满足 c2-a2=2(c-acosθ)x,且(b2+c2-a2)x=b2c. [母题解析]:如图,在△ABC的AB边上取点D,使得AD=CD=xBD=c-x,则∠BCD=∠BCA-A=θ,在△BDC中,由(c-x)2=a2+x2- 2axcosθc2-a2=2(c-acosθ)x;又在等腰△ADC中,cosA==(b2+c2-a2)x=b2c. 1.当θ=900时的直角三角形 子题类型Ⅰ:(2009年安徽高考理科试题)在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)设AC=,求△ABC的面积. [解析]:在△ABC中,C-A∈(-π,π),所以,sin(C-A)=1C-A=;如图,在△ABC的AB边上取点D,使得AD=CD=xBD=c- x,则∠BCD=∠BCA-A=;(Ⅰ)在Rt△BDC中,由sinB=cos∠BDC=sinB=cos2A=1-2sin2A=sinBsinA=; (Ⅱ)由sinA=cosA=;由BC=3S△ABC=ACBCsinC=3cosA=3. [点评]:当C-A=θ=900时,作出等腰△ACD,可得直角△BDC,即此时△ABC被分割成一个等腰△ACD和一个直角△BDC. 2.利用三边关系巧设三边 子题类型Ⅱ:(2011年全国高考试题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=900,a+c=b,求C. [解析]:如图,在△ABC的BC边上取点D,使得AD=CD=xBD=a-x,则∠BAD=∠BAC-C=900c2+ x2=(a-x)2c2=a2-2ax,又由a+c=b,设a=b+m,c=b-m(0mb)x=;又由 cosC===x==a2=m(b+2m) (b+m)2=m(b+2m)b=ma=(+1)m,x=(-1)mcos2C=cos∠ADB===C=150. [点评]:在△ABC中,若a+c=2kb,则可设a=kb-m,c=kb+m(-kbmkb),由此可简化计算,优化解题过程. 3.可取θ为特殊角构造命题 子题类型Ⅲ:(1998年全国高考试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,A-C=.求sinB的值. [解析]:由a+c=2b,A-C=A-C0ac,可设a=b+m,c=b-m(0mb);如图,在△ABC的 BC边上取点D,使得AD=CD=xBD=a-x,则∠BAD=∠BAC-C=,在△ACD中,由BD2=AB2+AD2- 2ABADcos∠BAD(a-x)2=c2+x2-2cxcosx==;又由cosC===x= =b=mcosB===sinB=. [点评]:本母题由广泛的生成空间,一是可任选取θ为特殊角;二是可任意构造等腰三角形. 4.子题系列: 1.(2015年安徽高考试题)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. 2.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=,则△ABC的面积为 . 3.(2009年安徽高考文科试题)在△ABC中,C-A=,sinB=. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)设AC=,求△ABC的面积. 4.(2015年湖南高考试题)设△ABC的内角AB,C的对边分别为ab,c,a=btanA,且B为钝角证明B-A=; (Ⅱ)求的取值范围a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的( ) (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件 6.(2013年全国高中数学联赛天津预赛试题)在△ABC中,bc=b2-a2,且B-A=800,则内角C等于 (用度数作答). 5.子题详解: 1.解:由∠A=,AB=6,AC=3BC=3sinB=cosB=;过点D作AB的 垂线DE,垂足为E,由AD=BD得:cos∠DAE=cosBAD=. 2.解:在BC上取点D,使得AD=BD=xCD=4-x,在△ACD中,(4-x)2=9+x2-6xcos(A?B)x=2cosC=sinC=△ABC的面积=. 3.解