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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(21-10):解析背景(604) 1517 解析背景 [母题]Ⅰ(21-10):(1997年上海高考试题)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+ By+C=0中A、B、C,所得恰好经过坐标原点的直线的概率是 . [解析]:从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中A、B、C,可得A73条直线,其中,直线经过原点,则C=0那么AB就是1,2,3,5,7,11中的任两数,P==. [点评]:以解析元素,尤其是以点的坐标为背景的古典概型问题是高考的又一个特殊题型,该类问题也是排列模型的特殊题型;以点的坐标为背景的古典概型既是问题又是方法. [子题](1):(1999年上海高考试题)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率是 . [解析]:连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标共有6×6=36种点P落在圆x2+y2=16内的情况8种=. 注:对于连续掷两次骰子分别得到的点数问题,由于样本空间中的基本事件的个数较小,故一般采用枚举法解之. [子题](2):(2014年全国高中数学联赛陕西初赛试题)将一颗均匀的正方体骰子连续掷两次,先后出现的点数分别为a、b,则关于x的方程x2+ax+b=0有实根的概率为 (用最简分数作答). [解析]:关于x的方程x2+ax+b=0有实根a2-4b≥0(a,b)=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),计19个P=. 注:当一次试验要涉及两个因素时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用构造点的坐标方法解之. [子题](3):(2007年四川高考试题)已知一组抛物线y=ax2+bx+1,其中a为2、4、6、8中任取的一个数,b为1、3、5、7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是 . [解析]:这一组抛物线共4×4=16条,从中任意抽取两条,共有C162种不同的方法.它们在与直线x=1交点处的切线的斜率k=|x=1=a+b.若a+b=5,有两种情形,从中取出两条,有C22种取法;若a+b=7,有三种情形,从中取出两条,有C32种取法;若a+b=9,有四种情形,从中取出两条,有C42种取法;若a+b=11,有三种情形,从中取出两条,有C33种取法;若a+b=13,有两种情形,从中取出两条,有C22种取法.由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有C22+C32+C42+C32+C22=14种P=. 注:本题把曲线、导数、计数方法与古典概率进行有机结合,体现了命制古典概型综合试题的一种趋势. [子题系列]: 1.(2009年湖北高考试题)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2008年上海高考试题)在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 3.(2009年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n.则以点(0,0)、(1,-1)、(m、n)为顶点能构成直角三角形的概率是 . 1518 [母题]Ⅰ(21-10):解析背景(604) 4.(2010年全国高中数学联赛广西初赛试题)某人投掷两次骰子先后得到点数m,n,用来作为一元二次方程x2+mx+n=0的系数.则使方程有实根的概率是( )