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第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为的概率 ； 2. 设随机变量服从泊松分布，且，则 0.0902 ； 3. 设服从参数为的两点分布，则的分布函数为 ； 4. 已知随机变量的概率分布：P(=1)=0.2, P(=2)=0.3, P(=3)=0.5, 则其分布函数=设随机变量的分布函数为, 则的概率分布为。 二、选择题 设离散型随机变量的分布律为为（B） (A) λ0的任意实数; (B) (C) λ=+1; (D) . 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令表示取出5个球的最大号码，试求的分布列。 解 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列为 5 6 7 8 9 10 2. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布列。 解 的取值为1，2，3，… 且 . 此即为的分布列。 3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布列及分布函数。 解 的分布列为 1 2 3 由分布函数的计算公式得的分布函数为 4. 设随机变量的分布律为。 求 解 5. （1）设随机变量的分布律为为常数，试确定。（2）设随机变量只取正整数值，且与成反比，求的分布律。 解 （1）因为 及，所以 （2）令类似上题可得 。 所以的分布律为 6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求的概率分布 解 =0, 1, 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯.”，=1，2，3. =, = ，= 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 为所求概率分布 7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数的概率分布律. 四、证明题 试证明： §2.3 连续型随机变量及其概率密度函数 填空题 已知连续型随机变量的分布函数为，则 1 ， ， ， ； 2. 设随机变量的概率密度函数, 则 0.5 , =； ； 3. 设服从参数为的指数分布，则的概率密度为 ； 4. 设随机变量的概率密度为 ，若使得, 则的取值范围是若随机变量在(1,6)上均匀分布,则方程有实根的概率为若随机变量~,且P(24)=0.3, 则P(0)=设随机变量X服从泊松分布, 已知 P(X=1) = P(X=2), 则概率P(X=4)=设随机变量~ (2, p), ~ (3, p), 若, 则= ,问区间才可能是某个随机变量的概率密度函数? （A） 2. 如下四个函数哪个不能成为随机变量X的分布函数 3. 设随机变量~则随的增大,概率 (A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不变.设随机变量的密度函数为的分布函数,则对任意实数有 5. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且 ，则必有（A） （A） （B） （C） （D） 三、计算下列各题 1. 设连续型随机变量的密度函数为；求的分布函数。 解 ， 2. 设随机变量的分布函数为；求的密度函数。 解 3. 设连续型随机变量的密度函数为； 求常数，使； （2）求常数，使。 解 （1）因为 ，所以故 。 因为 4. 在半径为，球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。 解 当时，设，则点落到以为球心，为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此 ，所以，的分布函数为 的密度函数为 5. 设随机变量的分布函数为,–∞+∞,试求 (1) 系数与, (2) P (–11), (3) 的概率密度函数. 解 设随机变量的概率密度为, 以Y表示对进行三次独立观察中{≤}出现的次数,求概率P(=2). 解 p = P (≤)=,