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第六章 极限定理  第六章 极限定理  概率法则总是在对大量随机现象的考察中才能显示出来，为了研究“大量”的随机现象， 常常采用极限的形式，这就导致对极限理论的研究。极限理论的内容很广泛，其中最重要的 有两种：随机变量序列的收敛问题与分布函数序列的收敛问题。在这一章，我们首先给出这 些收敛性的明确定义，并讨论有关性质。其次再讨论这两类收敛问题的具体形式：大数定律 与中心极限定理。  §6.1 分布函数的弱收敛  6.1.1 分布函数的弱收敛  特征函数是研究极限定理的有力工具。在第五章中，我们已经知道分布函数与特征函数 是一一对应即相互惟一确定的。在这一节中，我们将要指出这种对应具有某种意义上的连续 性。所谓连续性，无非是说，当分布函数有“微小变化”时，相应的特征函数也有一“微小 变化”。  为了刻画分布函数的“微小变化”，需要引进分布函数序列的收敛性概念，为了刻画分 布函数的“微小变化”，需要引进分布函数序列的收敛性概念。在建立定义之前，先看一个 例子。  1 例 6.1.1 考虑单点分布(X ) 1, 相应的分布函数为  n  1 0, x ,  n F (x )  (n 1,2, )   n  1 1,x ≥ ,  n 1 它可解释为一个单位质量全部集中在X 这一点上的质量分布。当 n +时，单 n 位质量将全部集中到X 0 这一点上，它对应如下的单点分布  0, x 0,  F (x )    1,x ≥0,  因此，我们自然认为当n +时，{F (x )}应该收敛于F (x ). 但是 F (x ) 0, F (x ) 1, 所 n 以F (0) F (0).  n 由此可见，要求分布函数序列在所有点上都收敛到极限分布函数，这个条件未免太苛刻 了。上例中，不收敛的点是极限分布函数F (x ) 的不连续点。  定义 6.1.1 设有分布函数序列 {F (x )},如果存在一个单调增加函数F (x ), 使在F (x ) 的 n 每一个连续点x 上都有  1    第六章 极限定理