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第二章 图像处理中的常用数学变换 北京信息科技大学 光信系 代数运算 空域变换 几何运算 傅里叶变换 域间变换 Gabor变换 余弦变换 域间变换 离散傅里叶变换 空域与其它域间变换 Gabor变换 离散余弦变换 应用： 换到其它域作处理更方便； 图像压缩 离散GABOR变换 分析傅里叶变换及反变换的公式可知，对给定的某一个频 率，如u，为求得该频率处的傅里叶变换，式（2 . 3 . 1 ） 对t 的积分仍需要从－∞到＋∞，即需要f (t)整个时域的 “信息”。 反之，如果要求出某一时刻，如t 处的值f (t )，由式（2 . 3 . 2 ) ，需要将F ( u )对u 从－∞到＋∞作积分，同样也需 要F(u)整个频域的“信息”。 实际上，由式（2 . 3 . 1 ）所得的傅里叶变换F ( u )是信 号f ( t )在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的 平均表示。类似地，式（2 . 3 . 2 ）也是如此。因此，傅 里叶变换不具有时间和频率的定位功能，信号的时变特性 得不到体现。 • 为了分析非平稳信号，或信号的局域特性，人们发展了信 号的时频域分析法，加窗傅里叶变换（也称短时傅里叶变 换，STFT ）就是其中的一种，它把非平稳信号看成是一 系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时域上的加 窗来获得的。 • 加窗傅里叶变换是一种局域化的时频分析方 法，只要适当地选择窗函数g ( t ) ，就可以通过 信号f （t ）的加窗傅里叶变换获得它在T ( g ( t ) 信号的时宽)时间区间内的信息。 • 要在计算机上实现一个信号的加窗傅里叶变换， 该信号必须是离散的，且为有限长的。 • 对于一个二维离散信号f (x,y),若h (x,y)和g (x,y) 是满足双正交关系的离散综合窗和分析窗函数， 则f (x,y) 的Gabor 变换及其Gabor 展开可写成如 下形式： 不对Gabor 变换做过多讨论! 2.7 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform) 傅里叶变换的一个大问题是：它的参数都是复数， 在数据的描述上相当于实数的2倍，不易计算，因此希 望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 2.7 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform)  1/ N u 0 a(u)   2 / N u 0,1, , M - 1 二维离散余弦变换 M 1 N 1 (2x 1)u (2y 1)v C(u,v) a(u)a(v) f (x ,y ) cos cos  2M   2M  x 0 y