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非线性方程求根 引 言 本章介绍方程的迭代解法，它既可以用来求解代数方程，也可以用来解超越方程，并且仅限于求方程的实根。 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题： (1)确定根的初值; (2)将进一步精确化到所需要的精度。 二 分 法 1 确定有根区间的方法 ① 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。 ② 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。 ③对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法 ④ 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。 由数学分析知识知, 设f(x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f(a)·f(b)0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。 (1) 画图法 (a)画出y= f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位 置。 (b) 也可将f(x)=0分解为?1(x)=?2(x)的形式，?1(x)与?2(x) 两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例如 xlogx-1=0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于 区间[2,3]内 例 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现 f(0)0 f(2)0 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 有哪些信誉好的足球投注网站,列表如下 a 用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法进行实根隔离的关键是选取步长h b 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量 又不太大。 c 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的 基础上采用对分法继续缩小该含根子区间 二分法可以看作是有哪些信誉好的足球投注网站法的一种改进。 迭 代 法 例 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 k=1,0,1,2,3……. 计算结果如下: 精确到小数点后五位 但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列 牛 顿 迭 代 法 牛顿迭代法 牛顿迭代法的收敛性 例 用牛顿迭代法求 x=e-x的根,ε=10-4 解：因 f (xk)=xex–1 , f′(xk)=ex(x+1) 建立迭代公式 作业 编程实现二分法、加权法及埃特金算法、牛顿迭代法、 牛顿下山法及弦截法 对于方程 ,设其近似根为 , 函数f(x)可在 附近作泰勒展开 忽略高次项,用其线性部分作为函数f(x)的近似， 设 的根 ,则有 ,即 将右端取为 ,即 是比 更接近于 的近似值 求出 这就是著名的牛顿迭代公式 牛顿迭代法的几何解释 方程f(x)=0的根x*是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标,设xk是根x*的某个近似值,过曲线y=f(x)的横坐标为xk的点Pk=(xk,f(xk))引切线交x轴于xk+1 , 并将其作为x*新的近似值,重复上述过程,可见一次次用切线方程来求解方程f(x)=0的根,所以亦称为牛顿切线法。 定理4 设 是方程 的单根, 且f(x)在 的某邻域内有连续的二阶导数, 则牛顿法在 附近局部收敛, 且至少二阶收敛, 并有 证: 牛顿迭代公式对应的迭代函数为 若 是方程 的单根,则有 , 从而 由定理2知,牛顿迭代法在 附近局部收敛。又由定理3知, 迭代公式至少具有二阶收敛速度。 利用泰勒公式 所以 证毕 y x 0 B=x0 f′′(x)0 xn+1 X* a y x 0 B f′′(x)0 a=x0 y x 0 B=x0 f′′(x)0 a y x 0 B f′′(x)0 a =x0 牛顿迭代法的收敛性 y x1 0 x0 X* 0 x0 X* x2 不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况 牛顿迭代法的算法实现 取x0=0.5,逐次