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讨论： 1°若 l=m=0，有 n=±1，为 的主平面， 显然有，2°若 m=n=0，有 l=±1，为 的主平面， 3°若 n=l=0，有 m=±1，为 的主平面， 4°当 l=0，m≠0 时，由第二式： 即有 平分 2-3轴，即 yoz平面， 5°当 l≠0，m=0 时，由第一式： 即有 平分 1-3轴，即 yoz平面， 6°当 l≠0，m≠0，n=0 时， 可求出极值平面： 平分 1-2轴，xoy平面 0 0 0 n= 0 0 0 m= 0 0 0 l= 6 5 4 3 2 1 平分YOZ 平分XOZ 平分XOY 结论：在σ1σ2σ3时，存在三个主切应力： 其中 最大切应力发生在与σ1,σ3 所在截面成45°的截面上。 2-7.圆柱坐标系中的平衡方程 1．问题的提出：在前面的讨论中，都是不加说明地约定在直角坐标系中。但对于工程实际的一些问题，如曲梁、圆环等，则采用圆柱坐标系（平面问题采用极坐标）或球坐标系更为方便。 r r z 2．圆柱坐标系中平衡方程： ⅰ建立圆柱坐标系，空间中一点M（r,?,z) ii取单元体： dr dz iii 受力分析： 面力：各截面上应力分量 乘以相应的作用平面 体力： dr dz iv受力平衡： 解释：由于在主平面上切应力分量为零, 则该截面上应力矢量pN 必沿截面的法线方向, 即有 从而 ‖ ‖ pN在坐标轴上的投影 σN在坐标轴上的投影 则有： iii 主应力计算： 为求主应力的值及主平面的方位，把上式写成： 显然{n}是单位矢量。 或 （2-19） 解得的特征值σ和特征向量{n}即为所求。式中的(E)为单位矩阵。 方程展开成： 或 由上述方程可求出一点应力状态的三个主应力值和对应的相互垂直的三个主方向余弦。 iv 论证：应力主平面互相垂直和主应力为实数。（？） (2-20) (2-20) ′ 为了论证应力主平面互相垂直和主应力为实数，我们给出如下结论：（代数学中的两个命题） （a）????????? 相对于对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。 （b）????????? 实对称矩阵的特征值为实数。 事实上，设有 ， 和 ， 满足方程 即有 分别左乘 和 ，有 对第二式转置，有 显然有 当 时，必有 即 由是结论( a ) 得证，即主应力平面互相垂直。 为证明结论（b）成立，对方程 两端左乘 {n}T 的共扼特征向量： 对其取共扼并转置，利用实对称矩阵的性质， 有 于是有 对于非零向量 {n}，显然 ，故必有： 即 为一实数。 v 主应力方程： 由 方程有非零解，必须有： （2-21） 行列式的展开式给出： （2-22） 应力特征方程 其中： 分别称为第一、第二、第三应力不变量 （2-23） （2-24） （2-25） 显然： 分别为矩阵 的各阶代数余子式。（？） 讨论： 1°由应力特征方程： 可求出σ 的三个实根，即一点应力状态的三个主应力 按代数值排列 2 °要求出主平面的方向余弦 {n}，利用方程 即 和 联立求解 l, m, n 代入 ： 展开： 联立求解得到对应于 所在主平面的方向余弦： 同理可求得： 3 °在主应力状态 下，应力特征方程为： 即有： 展开： 显然有： （2-26） （2-27） （2-28） （2-29） 考虑到主应力状态是由原应力状态