弹性理及论基础.ppt

三、正应变 考虑到dx/dR，dy/dR，dz/dR为主轴方向余弦，将式(1-55)、式(1-56)合并，移项，可得： 已知方向余弦间存在关系： 由于关系式(1-58)，三个方向余弦不可能同时为零，则方程组有解的条件是它的系数矩阵行列式等于零: (1-57) (1-58) (1-59) 将(1-59)式展开后得到三次方程： 该三次方程有三个根e1，e2，e3称为主应变或应变张量的主值。系数I1、I2、 I3分别称为一点上的应变状态第一、第二、第三不变量。 应该指出，应变状态第一不变量具有特别的物理意义。为了说明这一点，我们平行应变状态主轴1，2，3取一个平行六面体，其棱为dx,dy,dx;应变前平行六面体体积为V= dxdydx，应变状态下变为: V’=(1+e1)dx(1+e2)dy(1+e3)dz，略去微量e1e2，e2e3，e1e3，e1e2e3等项，可有： (1-60) 平行六面体相对体积变化θ为： 这样，弹性体一点上的应变状态第一不变量具有简明的物理意义，这就是物体在应变状态下发生的相对体变。 (1-64) §1-3 应力与应变的关系 一、广义虎克定律 弹性理论的基本点是假定应力与应变间存在着单值线性关系，称为虎克定律。与式(1-20)类似，虎克定律可以写作： 广义虎克定律可以展开如下： (1-65) (1-66) 当弹性介质性质具有对称性，存在对称轴或对称面时，描述介质所具有弹性介质的性质依方向不同而异，称为各向异性介质。在这种情况下同一个应力分量在不同方向引起不同应变。如果弹性介质的性质在各个方向上都一样，称为各向同性介质。 这时为描述介质只需要两个弹性系数。 弹性系数Cij一般是一组常数，从一点到另一点弹性系数不变，此种介质称为均匀介质，若弹性系数Cij是点坐标的函数，则介质称为不均匀介质。在地震研究中经常遇到的是均匀各向同性介质。 二、均匀各向同性完全弹性介质中应力与应变的关系 1、正应变与正应力的关系 沿x方向对柱体均匀作用一个外力F则作用于截面S上的应力为σxx＝F/S，其作用方向与截面法线方向重合，在平行于截面的方向上应力为零。 这时物体被拉伸了相对伸长量与应力成正比： 有： 其中E称为杨氏模量。另一方面，当物体沿一个方向拉伸时，在其它两个垂直方向上，将会发生压缩，称为横向压缩。纵向拉伸与横向压缩之间也存在着比例关系: 其中eyy和ezz是由于exx引起的压缩，由于物体具有各向同性性质，所以在y，z方向上的压缩是一样的。比例系数ν是称为泊松比。 (1-68) (1-67) 同理，另外两个方向也存在如下关系式 (1-69) 一般情况下,在每个方向上既发生纵向伸长,也发生横向压缩。若定义伸长为正,压缩为负,则可写出如下关系式: 由于物体在各个方向上同时发生了线度变化，则体积随之改变。相对体变θ为; 或者可以写作： (1-71) (1-70) 2、用应变表达应力 其中令： 其中λ，μ称为拉梅系数，式(1-72)可以改写为： (1-72) (1-73) (1-74) 3、切应力与切应变的关系 如图1-15所示，在弹性体内截取一个立方体形状的单元体，单元体侧面角错动量，即切应变，和与它相平衡的切应力成正比，比例系数是 μ ，又称为剪切模量. (1-75) K称为周围压缩模量。关系式（1-76）表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力成正比。 4、周围压缩模量 如果单元体表面受力大小相等，且作用力相对中心点对称其作用方向相反，等于一个常数，我们说它受到一个周围压力。根据周围压力符号不同，单元体将发生膨胀或压缩。设周围压力为P，则有: 根据式(1-74)有： 所以 (1-76) (1-77) 5、均匀各向同性介质中虎克定律表达式 其中 弹性系数只有两个是独立的即λ和μ；而C11＝C12＋2C44不是独立的系数。 (1-78) 依据(1-74)和(1-75) 表1-1 弹性常数之间的转换关系 P21，表1-1中每行的各列值相同。 如果能用介质的纵波、横波速度及密度，计算出其中的某一两个弹性常数，其它的可以根据表中的关系式计算出来。这些弹性常数是实际工程中人们最关心的。 6、弹性常数之间的关系 应力向量 在新坐标系中的某一坐标轴如 上的投影等于 在原坐标系中各分量在这个坐标轴 上投影之和： 将分量 的表达式带入上式 得到： 同理可得到应力向量在新坐标系中的九个分量表达式。 其中规定对表达式中重复出现的下标要求求和，这个过程是显而易见的。 应力九个分量的总合称为应力张量。 若已知某个坐标系下的9个应力分量以及新坐标系与原坐标系的几何关系，