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大学物理学 那么，粒子在空间出现的几率密度： 几率密度与时间无关，因此，波函数描述的是稳定态---简称定态。 ---称为定态薛定谔方程. 薛定谔方程比较（非相对论形式） 2. 定态薛定谔方程: 1. 一般形式薛定谔方程： 一维 三维 一维 三维 若 U=0（自由粒子） 设质量为m的粒子只能在 0xa 区域内的外力场中作一维运动. 势能函数为： 三、一维无限深势阱（定态薛定谔方程的应用) 因为在阱外(即：当 x 0和 x a 时)粒子势能为无穷大 方程的通解为： 由边界条件 概率分布函数 0 粒子波函数 则粒子的能量： 此能量量子化是求解态薛定谔方程时波函数必须满足 标准化条件的自然结果,而不是人为的假设。 n=1,2,3, … 在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。 若n=0，则k=0， 没有意义。 所以n=1时粒子取最低能量： E1称之为基态能量。 特征分析： 1. 粒子只能在U(x)=0的势阱内运动。 2. 波函数是驻波方程。能级越高，驻波个数越多。 在x=0和x=a的边界上是驻波波节。 在0xa的区域，驻波有(n－1)个波节，驻波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。 3. 概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数越多。 用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量: 因为势阱中 U(x)=0， E = EK 用薛定谔方程简单分析得： n=1,2,3, … 由驻波条件得， 能量是量子化的。 与求解态薛定谔方程得到的能量公式一致。 例2 一维无限深势阱中粒子的定态 波函数为 求: 粒子处于基态和处于第一激发态时， x 在（0 ?a/3）之间找到粒子的概率。 n=1,2,3,... 解： 2 a sin px a 2 dx ò 3 a 0 ( ) = 2 a cos2 px a dx ò 3 a 0 1 2 1 + = 1 a x p 2 a sin px a 2 ( ) 3 a 0 =0.19 = 1 a a 3 p 2 a 3 2 . 当n=1（基态）时 a 3 x =0 在 中找到粒子的概率W1 为： x = + = 1 a x p 4 a sin px a 4 3 a 0 =0.264 = 1 a a 3 p 4 a 3 2 . 2 a sin 2px a 2 dx ò 3 a 0 = 1 a cos dx ò 3 a 0 1 ( ) 4px a a 3 0 在 中找到粒子的概率W2为： 处于第一激发态，即n=2 时的状态 例题3 一个质子在一维无限深势阱中， 阱宽a =10-14m。 (1)质子的最低能量有多大? (2)由n =2态跃迁到n =1态时，质子放出 多大能量的光子? 解： * 一、德布罗意波 (物质波) 1924年，法国物理学家德布罗意提出了物质波的假设： 一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,具有波粒二象性。 具有能量为E、动量为p 的实物粒子就有一定频率? 和一定波长?与之对应。它们之间满足如下关系： 德布罗意公式(或假设) 与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波) 15-1 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性 独创性 所以电子的德布罗意波长为： 例如：电子经加速电势差 U加速后 当U=100伏 ? 解： 例 一原静止的电子被电场加速到速度v（v??c），加速电压为100V时，则速度为v的电子的De Br?glie波波长为多大？ G φ φ K 狭缝 电 流 计 镍 集 电 器 U 电子射线 单 晶 二、物质波的实验验证 1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。 实验发现：保持? 角不变，改变电压值，电流并 不随电压单调的改变，而是出现选择性。 根据衍射理论，衍射最大值应满足布拉格公式： 德布罗意假说，电子的波长为：波 当电压为某一特定值时，电流才有极大值（此规律 与x射线的衍射规律相似 ）。 5 10 20 15 25 0 I 利用布拉格公式球得 波长为: 两者波长值很接近，证明微观粒子具有波粒二象性 若在戴维孙—革末实验中取 根据德布罗意假说,由加速 电势差算得的波长为: 思考题: 若一个电子的德布罗意波长和光子的波长相同。 试问：1）它们的动量大小是否相同？ 2）它们的总能量是否相同？（05年） 2）但它们的总能量是不相同的。电子的总能量大于 光子的能量。 解：1）