导数与微分重点知识归纳.docVIP

导数的概念例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量t时，质点的位置有增量???????????????????????? 这就是质点在时间段t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：???????????????????????? 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。?? 我们认为当时间段t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，?? 即：质点在t0时的瞬时速度=?? 为此就产生了导数的定义，如下导数的定义?? 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量x(x+△x也在该邻域内)时，相应地?? 函数有增量?????????????????????? ，若y与x之比当x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。?????????????????????? 记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。?? 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区?? 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，?? 我们就称这个函数为原来函数的导函数。注：导数也就是差商的极限左、右导数?? 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。?? 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。?? 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。?? 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则?? 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).???????? 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则?? 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：????????????????????????????????? 函数的积的求导法则?? 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：????????????????????????????????? 函数的商的求导法则?? 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：????????????????????????????????? 复合函数的求导法则例题：求=??? 解答：由于，故?? 这个解答正确吗??? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下：?????????? ?? 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。?? 下面我们给出复合函数的求导法则复合函数的求导规则?? 规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：?????????????????????????? ，?? 其中u为中间变量例题：已知，求?? 解答：设,则可分解为,因此???????????????? 注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。例题：已知，求解答：反函数求导法则根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.?? 为此我们可给出反函数的求导法则，如下定理：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可导，且有：????????????????????????????????? 注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。?????? 即： 是对y求导，是对x求导例题：求的导数.?? 解答：此函数的反函数为，故则：???????? 例题：求的导数.?? 解答：此函数的反函数为，故则：???????? 高阶导数我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：????????????????????????????? 而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：????????????????????????????? ，或这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。下面我们给出它的数学定义定义：函数的导数仍然是x的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作????????????????????????????? 或，即：????????????????????????????? 或相应地，把的导数叫做函数的一阶导数类