线性代数与§3.1 .pptVIP

例3: 已知 试讨论向量组?1, ?2, ?3及?1, ?2的线性相关性. 解: 首先容易得到 故向量组?1, ?2, ?3线性相关. 向量组 线性无关. 又因为 不能观察得到结果时 如何做？ 用定义，判断方程组 是否有非零解！ 例4: 已知向量组a1, a2, a3线性无关, 试证向量组b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1线性无关. 证: 设有x1, x2, x3, 使 x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =0 即 x1(a1+a2) + x2(a2+a3) + x3(a3+a1) = 0, 亦即 (x1+x3)a1 + (x1+x2)a2 + (x2+x3)a3 = 0, 因向量组a1, a2, a3线性无关, 典型方法 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解, 即只有x1=x2=x3=0, 因此由定义得, 向量组b1, b2, b3线性无关. 也可直接求解方程组. 所以 对于抽象的向量组，判断其是否线性无关，用定义, 利用条件后仍转化为齐次线性方程组是否有非零解。 例5：判定下面的向量组 的线性相关性. 解： 因为 所以向量组线性 无关. 定理3： 设向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性无关, 而向量组 B: ?1, ?2, ···, ?m, ? 线性相关, 则向量? 必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的. 证： 因为 线性相关，所以存在不全为 0的数 使得 又因为 线性无关，所以有 从而 * §3.1 n维向量及其线性组合 一、n 维向量 定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量. 1、定义 例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量. (1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量. 第2个分量 第n个分量 第1个分量 写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,通常用aT, bT, ?T, ?T 等表示, 如: 写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,通常用a, b, ?, ? 等表示, 如: 分量全为0的向量称为零向量，记作0 注意: 1. 一个n维向量可以写作行向量，也可写作列向量，但行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算, 详见P111－112 2、运算法则 由运算规则可以得到： 或 有唯一解 3、向量空间 定义：数域F上的全体n维向量，定义了上述加法和 数乘，并满足上述八条运算规律，则称之为 F上的n维向量空间，记作 当F＝R时，称为n维实向量空间，记作 向　量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象:可随意平 行移动的有向线段 代数形象:向量 的坐标表示式 坐标系 当 n ? 3 时, 当 n 3 时, 空　间 解析几何 线性代数 点空间:点的集合 向量空间:向量的集合 坐标系 代数形象:向量 空间中的平面 几何形象:空间 曲线、空间曲面 一一对应 点(x, y, z)的集合——平面 向量(x, y, z)T的集合 二、向量组的线性相关性 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m 称为向量组A: ?1, ?2,···, ?m的一个线性组合, k1, k2, ···, km称为这个线性组合的系数. 1、向量组的线性组合 若记 则称 可由 线性表示（线性表出）. 对于线性方程组 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应. 线性方程组的向量形式 于是向量 b 能由向量组 线性表示 线性方程组 有解. 方法: 对于具体的向量 要判断向量 b 线性表示, 转化为 能否由向量组 判断线性方程组 是否有解. 要求表达式，就是求解方程组. 例1. 已知 解：设 对上述线性方程组的增广矩阵施行初等行变换： 于是当 b=2 时线性方程组有解，即 取 代入方程组 得到原方程组的解为 k为任意实数 2、向量组的线性相关与线性无关 的定义 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m , 如果存在不全为零的数 k