线性代数与-第一次课§1.1-1.3 .pptVIP

* * * 线性代数 1. 教师姓名: 王国联 2. 52学时，第17周结束 3. 期中考试(待定) 4. 作业：练习册 5. 平时成绩所占比例20%(作业、平时抽查、期中考试(若有)) 课程简介 代数中心课题-------解方程 最简单的方程一元一次方程。 （1）一元n次方程 ---多项式理论 （2） n元一次方程---线性代数 第一章 行列式 什么是行列式 行列式的定义、性质、计算 行列式的应用 能解决什么问题 §1.1 二阶与三阶行列式 当(a11a22 – a12a21) ? 0时, 用消元法解得: 由方程组的四个系数确定 一、二阶行列式 1.二阶行列式的引入 求解二元一次方程组 称其为二阶行列式。 令 a11 a12 a21 a22 由4个数排成二行二列的数表 a11 a12 a21 a22 2.二阶行列式的定义 定义： 主对角线 副对角线 3.二阶行列式的计算——对角线法则 a11a22 – a12a21 =a11a22 – a12a21 (1) (2)式称为由数表(1)所确定的二阶行列式. 记 (2) ＝ ４.二阶行列式的应用 当(a11a22 – a12a21) ? 0时, 解得: 分析： 例1: 解二元线性方程组 解: = 3 – (–4) = 7 ? 0, 二、三阶行列式 求解三元线性方程： 用消元法解得 当 时， 1.三阶行列式的引入 称为三阶行列式 (5)式称为由数表(4)所确定的三阶行列式. 2.三阶行列式的定义 定义: 设由9个数排成3行3列的数表 (5) (4) 记 列标 行标 3.三阶行列式的计算 (1)对角线法则 (2)沙路法 即 即 当 时， 4.三阶行列式的应用 记 则 例2: 计算三阶行列式 解: 二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的. 三、小结 类似的可以定义四阶、五阶…… 思考： 如何给出 n(n=1,2……)阶行列式的一般定义？如何计算？ n阶行列式的定义中要用到两个概念：全排列和逆序数。 §1.2 全排列及其逆序数 定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素的全排列(或排列). 解答： Pn = n ? (n–1) ? (n–2) ? ··· ? 2 ? 1 = n! 一、全排列 思考：n 个不同的元素的排列数是多少？ 　　通常用 Pn 表示n 个不同的元素的所有全排列的种数, 称为排列数. 二、排列的逆序数 逆序: 在一个排列 i1 i2 ··· is ··· it ··· in 中, 若数 isit,则称这两个数组成一个逆序. 下面的例题及定义均以 n 个不同的自然数为例, 并规定自然数由小到大为标准次序. 逆序数: 一个排列中所有逆序的总数,通常用t表示. 逆序数的计算方法: “前大法”或“后小法” 例如: 排列3142中, 3 1 4 2 逆序 逆序 逆序 3 2 5 1 4 3 1 故此排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1 = 5. 例1:求排列32514 的逆序数。 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3 2 5 1 4 于是t(32514) = 2+1+2+0+0 = 5. 解:用“前大法”: 用“后小法”: 例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) n(n–1)(n–2) ··· 21 解:用“前大法”: n (n–1) (n–2) ··· 2 1 0 1 2 (n–1) (n–2) t = 0+1+2+ ··· +(n–2)+(n–1) 于是排列n(n–1)(n–2) ··· 21的逆序数为: 此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列,其中ｋ为自然数. (2) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) ··· (k–1)(k +1)k. (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· (k–1) (k+1) k 解: 0 1 2 1 2 3 3 (k–1) (k–1) k t = 0+1+1+2+2+ ··· +(k–1)+(k–1)+k 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) ··· (k–1)(k +1)k的逆序数为: 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为奇排列. §1.3 n 阶行列式的定义 一、 n 阶行列式 (1) 三阶行列式共有6=3!项. (2)不