第四讲§与2.4-5 .pptVIP

§2.4-5群的同态 ,变换群 一、群同构 二　　群同态： 三 自同态和自同构 （2）自同构 §5 变换群 一、变换群的概念和基本性质 二．变换群的概念 下面将讨论本讲的重点内容 凯莱定理. * * 第4讲 我们认为 与 是代数相同的,因为这是对于近世代 定义1.设 都是群.如果存在双 使 在 上,都有 （即 保运算） 是同构映射.同时称 与 同构,记为 则称 与 的同构象. 是 也称 明示:对于同构的群 , 的逆映射 是群同构映射,那么 : 也是群的同构映射. 结论1. 设: 数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外, 二者没有实质的差异. : 和 : 都是群同构映射,那么 ：也是群同构映射。 ，都是双射，自然 也是双射。而 都能保运算，须证 也能保运算。事实上， ， 是同构映射。 结论2 设 *证明*： 必是一个等价关系。 结论3 在群之间的同构“ ”作为关系时，“ ” （3）若 ， 且 由结论2 由（1），（2）知，“ ”满足发射定律，对称律 ”是等价关系。 和传递律。所以，“ 的恒等变换。 ，显然 ，这里 1 是 【证明】：（1）任一个群 那么由结论1 （2）若 例1：设 是模2的剩余类加群，而 是方程 的全部单位根，又设 ，其中这三个集合上的代数运算表分别为： [0] [0] [1] 1 1 -1 偶 偶 奇 [1] [1] [0] -1 -1 1 奇 奇 偶 + [0] [1] 1 -1 偶 奇 其中：[0] 1，[1] -1 其中： 1 偶，-1 很容易知道 和 不仅是双射，而且都能保运算，即 且 （注：由传递性 　）这说明，上述三个 作映射： 奇 群彼此都是相互同构的。 明示：按近代的数学观点：上述三个群只是表达元素的符号与运算方法的符号及名称有区别。而这些区别对于我们讨论，研究问题的宗旨——群的代数性质来说是无关紧要的。因为三者不外都是如下以一般形式出现的二阶群的一种具体实现而已。 运算表为：　 因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式 前面的三个二阶群中，任何一个不外都是把这个模式用某种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。这似乎有点举一反三，触类旁通的意味吧。 , 性的差异，其中一个是另一个以不同符号和名称实现出来的结果。于是，只要掌握了当中的任何一个，那么另一个也就完全能把握住了，基于这样的认识，群论的基本课题就是把群按同构关系分类；对每一个同构的群类确定它的代数结构。 例２：设两个群 和 ，其中： 　 作 其中： ，显然， 是双射，且　 ，于是知 明示：我们应该记为　 　与　 这两个群没有实质 我们已多次谈到 “满同态”的重要性质------具有 “传递”作用.那么在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢? 是 ,此时也称 同态,并记为 ~ 如果 是满射，则必 是群同构态映射； 定义２：设 和 都是群，如果存在映射 使 都有 ，则称 为群满同态映射，（注： 与 这是重要的一种同态，要特别关注）简称 的同态像. 定理1: 设 是两个代数体系 到 的同态满射,若 是群,那么 也一定是群. 而言 ,“ ”满足封闭性是显而易见的, 中的 “ ” 满足集合律.利用第一章 也满足结合律.下面须证 有单位元和 有逆元. 【证明】:对 而由于 ,须证 i 是群,设e是单位元并设 是 的单元.事实上, 是满射 ，使 ,那么 ,同理 , 由 的任意性 是单位元. 为满射,则 使 ，而 是群,故 有逆元 ,设 ，须证 是 的逆元。 同理 是的逆元,即 = 由上可知, 是个群. ii 事实上, 而运算表为 例3: 设 且 “ ” 为代数运算, a b c a b c a b c b c a c b a *问题*: 可否成群? 通过运算表也许能解决单位元和逆元 的结合律的检验,是相当费事的,怎