第五节 与 行列式按行(列)展开 .pptVIP

上式右端行列式是 n - 1 阶范德蒙德行列式, 纳法假设, 2 ? j i ? n . 故 证毕 按归 它等于所有 (ai - aj) 因子的乘积, 其中 例如：计算如下行列式的值. 由行列式的性质可知： 解 显然，此行列式是 4 阶范德蒙德行列式, a1=1, a2 =2， a3=3, a4 =4. 故 仿照上述推论证明中所用的方法, det(aij) 按第 i 行展开的展开式中, 依次代替 ai1 , ai2 , … , ain ，可得 在行列式 用 b1 , b2 , …, bn 类似地,用 b1 , b2 , …, bn 代替 det(aij) 中的第 j 列， 可得 D 的(i , j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij , 求A41 + A42 + A43 +A44及 M11 + M21 + M31 + M41 . 例 3 设 A41 + A42 + A43 + A44 （因为行列式中有两行元素对应相等） 解 =1 · A41 + 1 · A42 + 1 · A43 + 1 · A44 M11 + M21 + M31 + M41 =1·A11 + (-1)A21 +1· A31 + (-1)A41 1. 直接用行列式定义计算; 三、行列式的计算方法 到目前为止, 行列式的计算是我们这一章的重点, 须掌握的基本技能. 行列式有以下三种计算方法: 我们已能计算任意阶的行列式. 也是同学们必 2. 利用性质化为上(下)三角形行列式; 3. 利用按行(列)展开式法则降阶. 余子式和代数余子式 主要内容 行列式按行(列)展开法则及其推论 第五节 行列式按行(列)展开 上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 下页 铃 结束 返回 首页 第五节 行列式按行（列）展开 为了解决这个问题, 一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计 算要简便, 于是,自然地考虑用低阶行列式来表示 高阶行列式的问题. 本节我们要解决的问题是： 如何把高阶行列式降为低阶行列式, 行列式的计算转化为低阶行列式的计算. 引言 从而把高阶 先学习余子式和代数余子式 的概念. 一、余子式和代数余子式 Aij 叫做元素 aij 的代数余子式. 和第 j 列划去后, 中的相对位置组成的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的 余子式, 记 Aij=(-1)i+j Mij , 剩下的元素按它们在原行列式 记作Mij . 定义 在 n 阶行列式中, 把元素 aij 所在的第 i 行 行列式 M23= A23= =-M23 元素a23的余子式 元素a23的代数余子式 (-1)2+3 M23 注意： 1.行列式某个元素的余子式和代数余子式只和 此元素的位置有关, 而与此元素的值无关. 2.行列式某个元素的余子式和代数余子式最多 相差一个正负号. 3. 行列式某个元素的余子式和代数余子式比 原行列式 低阶. 二、行列式按行(列)展开法则 除 aij 外都为零, 余子式的乘积, 引理 一个 n 阶行列式, 如果其中第 i 行所有元素 那么这行列式等于 aij 与它的代数 即 D = aij Aij . 证明略 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和, 即 或 这个定理叫做行列式按行(列)展开法则,也称为： 作用：将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的 计算. Laplace (按行列)展开定理. 证明 根据引理? 即得 类似地可证： 证毕 由定理还可得下述重要推论： 对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的 把行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开,有 在上式中把 ajk 换成 aik ( k = 1, 2, … , n )，可得 证明 当 i ? j 时, 故行列式等于零, 上式右端行列式中有两行元素对应相同, 即得 ←第 i 行 ←第 j 行 上述证法按列进行, 证毕 即可得 分析： 此例上节课已经利用行列式性质计算出结果, 在本节可利用行列式按行(列)展开法则计算, 但最好是将两种方法结合在一起来使用. 例 1 计算四阶行列式 解 保留a33, 把第三行其余元素变成0, 按第三行展开, 称为 n 阶范德蒙德 (Vandermonde) 行列式. 证明： 例 2 行列式 当 n = 2 时， 结论成立. 设对于 n - 1 阶的范德蒙德行列式结论成立， 在 n 阶范德蒙德行列式中, n -2 行的 a1 倍. 减去它上一行的 a1 倍， 现在来看 n 阶的情形. 第 n 行减去第 n - 1 行的 a1 倍, 有 证明 对 n 用归纳法.