第十三讲与常微分方程初值问题数值解法 .pptVIP

常微分方程初值问题数值解法 9.2 简单的数值方法 9.2.2 梯形方法 9.2.3 改进的欧拉公式 9.2.4 单步法的局部截断误差与阶 9.3 龙格-库塔方法 9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式 9.3.2 二阶显式R-K方法 一般说来，点数r 越多，精度越高，上式右端相当于增量函数?(x, y, h)，为得到便于计算的显式方法, 可类似于改进欧拉法(3.1),(3.2)，将公式表示为 其中 这里ci, ?i, ?ij均为常数. (3.4)和(3.5)称为r级显式龙格-库塔(Runge-Kutta)法, 简称R-K方法. 当r=1, ?(xn, yn, h)=f(xn, yn)时，就是欧拉法，此时方法的阶为p=1. 当r=2时，改进欧拉法(3.1)式就是其中的一种, 下面将证明其阶p=2. 要使公式(3.4),(3.5)具有更高的阶p，就要增加点数r. 下面我们只就r=2推导R-K方法. 并给出 r=3,4 时的常用公式，其推导方法与r=2时类似，只是推导计算较复杂. 对r=2的R-K方法，由(3.4),(3.5)式可得如下计算公式 这里 c1, c2, ?2, ?21 均为待定常数，我们希望适当选取这些系数，使公式阶数 p 尽量高. 根据局部截断误差定义，推导出(3.6)的局部截断误差为 其中 这里yn=y(xn), yn+1=y(xn+1). 为得到Tn+1的阶p，要将上式各项在(xn, yn)处做泰勒展开，由于f(x, y )是二元函数，故要用二元泰勒展开，各项展开式为 将以上结果代入(3.7)，则有 要使公式(3.6)具有p=2阶，必须使 即 (3.9)的解是不唯一的. 可令c2=a≠0，则得 这样得到的公式称为二阶R-K方法. 则由此可以看出在改进的欧拉公式中相当于取(xn,yn), (xn+1,yn+1)两点处斜率的平均值，近似代替平均斜率，其精度比欧拉公式提高了. 如取a=1/2，则c1= c2=1/2, ?2=?21=1. 这就是改进的欧拉公式(3.1)式. 称为中点公式(变形的欧拉公式)，相当于数值积分的中矩形公式.也可以表示为 如取a=1，则c1=0, c2=1, ?2=?21=1/2. 得计算公式 对r=2的R-K公式(3.6)能否使局部误差提高到O(h4)? 为此 需把K2多展开一项，从(3.8)的 看到展开式中的项 是不能通过选择参数消掉的，实际上要使 h3 的项为零，需增加3个方程，要确定4个参数c1, c2, ?2及?21，这是不可能的. 故r=2的显式R-K方法的阶只能是p=2，而不能得到三阶公式. 9.3.3 三阶与四阶显式R-K方法 要得到三阶显式R-K方法，必须r=3. 此时计算(3.4), (3.5)的公式表示为 其中c1, c2, c3及?2, ?21, ?3, ?31, ?32均为待定常数，公式(3.11)的局部截断误差为 只要K1, K2将按二元泰勒展开，使Tn+1＝O(h4)，可得待定参数满足方程 上页 下页 9.1 引 言 科学技术中很多问题都可用微分方程的定解问题来描述，主要有初值问题与边值问题两大类，本章只考虑初值问题. 常微分方程初值问题中最简单的例子是人口模型，设某特定区域在t0时刻人口为y(t0)=y0已知的，该区域的人口自然增长率为?，人口增长与人口总数成正比，所以t时刻的人口总数y(t)满足以下微分方程 　　很多物理系统与时间有关，从卫星运行轨道到单摆运动，从化学反应到物种竞争都是随时间的延续而不断变化的. 解常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解就是确定满足给定方程的可微函数y(t)，研究它的数值方法是本章的主要目的. 考虑一阶常微分方程的初值问题 则称f关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件，L称为y的利普希茨常数(简称Lips.常数). 　　如果存在实数L0，使得 定理1 设f在区域D={(x, y)|a?x?b,y?R}上连续, 关于y满足利普希茨条件，则对任意x0?[a, b], y0?R，常微分方程初值问题(1.1)式和(1.2)式当x?[a, b]时存在唯一的连续可微解y(x) . 　　解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基本内容，也是数值方法的出发点，此外还要考虑方程的解对扰动的敏感性，它有以下结论. 定理2 设f在区域D (如定理1所定义) 上连续, 且关于y满足利普希茨条件，设初值问题 的解为y(x, s)，则 　　这个定理表明解对初值依赖的敏感性，它与右端