第三节正与定二次型 .pptVIP

第二节 正定二次型惯性定理正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别 前面配方法的过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。 其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1, d2, …, dn, n个实数 进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式： 该式称为二次型的规范形。 r是矩阵A的秩，即二次型的秩。 注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。 同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di0的个数相同。 定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数 一、惯性定理 证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。 现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。 假设二次型可以化成两个规范形 (1) (2) 由(1) (2) 我们有： 如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。 (4) 反证法，假设q不等于p，不妨假设pq 如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立 问题： y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0？ (4) 方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qn个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于pq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。 由此得到p=q. 惯性定理成立。 一个实二次型，既可以通过拉格朗日配方法化为标准形，也可以通过初等变换法化为标准形。显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 进而将标准形化为规范形，其规范形是唯一的。 项数为二次型的秩；其中系数为+1的项的项数为正惯性系数；其中系数为-1的项的项数为负惯性系数。 为三元二次型，则它为正定二次型 为二元二次型，则它为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 例如 证明 充分性 故 三、正(负)定二次型的判别 必要性（反证法） 故 推论1. 实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n 推论2. 实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位矩阵合同 推论4. 正定矩阵的行列式大于零 证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得： 推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值 全为正 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式为正，即 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主 子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即 正定矩阵具有以下一些简单性质 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例2 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型. 即知 是正定矩阵， 例3 判别二次型 的正定性. 解 二次型正定性的判断方法 一般的二次型的判断都可以利用它的标准型或者规范形完成。 设二次型的标准型为： 如果di()0(i=1,2,…,n), 那么二次型是正定(负定)的。 如果di≥(≤)0 (i=1,2,…,n), 那么二次型是半正定(半负定)的。 如果di中既有正数，又有负数，那么二次型是不定的。 容易理解：1. 能够判定半正定二次型； 2. 半负定二次型只要给二次型乘以“-1”，就是半正定二次型。 当yi (i=1,2,…,r)不全为0时，二次型f0,所以上述二次型半正定。 特别地，当二次型的秩小于n 2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 四、小结 　　1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系． 　　3.　类似地，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法． 思考题 思考题解答