第三节 斡朕穷小(量)和无穷大(量) .pptVIP

* 一、无穷小(量) 定义 以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量). 例如, 注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈; 3.零是唯一可以作为无穷小的数. 2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. §2.3 无穷小(量)和无穷大(量) * 无穷小和极限的关系: 定理 变量 y 以A为极限的充分必要条件是：变量 y 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim y = A ? y = A+a ， 其中a 是无穷小 。 证略. 定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述. 无穷小量的性质： 1°?有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 定理 2°?无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3°?有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。 * 例1 解 ? * 例2 例3 * 二、无穷大量 定义 在自变量的某一变化过程中,若变量y的绝对值|y|无限地增大,则称y为无穷大,记为 若y恒为正且y无限地增大,则称y为正无穷大,记为 若y恒为负且|y|无限地增大,则称y为负无穷大,记为 * 几点说明: (1)无穷大量定义对数列也适用 (2)无穷大是相对于自变量某个变化过程而言的.例如, 时, 是无穷大,而 时, ,不是无穷大. (3)无穷大是指自变量的某个变化过程中,其绝对值无限增大的变量,而不是绝对值很大很大的常量. * (4)定义只是无穷大的一种直观描述,而不是严格的数学定义. (或+∞,或－∞)的严格数学定义是:对任意给定的正数M(不论多么大),总存在δ0,使当0|x－x0|δ时,恒有 |f(x)|M (或f(x)M,或f(x)－M) * 证 得证. x o y 例4 * 无穷大量与无界变量的关系 (1) 无穷大量显然是无界变量； (2) 但无界变量不一定是无穷大量。 例如数列 再如， 但它并不是无穷大量。 * 三、无穷大量与无穷小量的关系 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 例5 * 例6 解 所以原极限为-1； 所以 * 四、无穷小量的比较 例如, 比值极限不同, 反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同. 观察各极限 下节证 * 定义： * 说明: 1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶. 2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的. * 例7 * 例8 证 * 例9 证 * 例10 但是， 不存在， * * * * * * * * * *