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第十三章 群 12.1 本章学习要求 13.2半群与含幺半群 定义13.2.1 在二元代数S, ?中，若二元运算“?”满足结合律，则称S, ?为半群；特别地，若半群S, ?中的二元运算“?”满足交换律，则称S, ?为可交换半群。 定义13.2.2 设S, ?为半群，若S中存在关于运算“?”的幺元e，则称此半群为独异点（或含幺半群），有时也记为S, ?, e； 若独异点S, ?, e中运算“?”满足交换律，则称S, ?, e为可交换独异点（可交换含幺半群）。 例13.2.1 设A是非空集合，AA表示所有A到A的函数集合，运算“?”表示映射的复合运算，证明AA, ?是半群。 分析 只需证明运算“?”满足封闭性和结合律。 证明 对?f, g∈AA， 显然有f?g∈AA， 故封闭性成立。又函数复合运算“?”满足结合律，所以AA, ?是半群。 例13.2.2 设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明代数系统P(S), ∪ 与P(S), ∩都是可交换的含幺半群。 分析 运算“∪”和“∩”显然满足交换律，因此只需说明P(S), ∪ 与P(S), ∩是半群，并计算它们的幺元即可。 例13.2.2（续） 证明 显然运算“∪”和“∩”均满足结合律和交换律，因此它们是可交换的半群。 易证Φ和S分别是P(S), ∪ 和P(S), ∩的幺元。因此，P(S), ∪ 与P(S), ∩是可交换的含幺半群。 例13.2.3 设n＝｛0, 1, 2, …, n－1｝, 定义n上的运算＋n 如下： x, y∈n, x＋ny＝x＋y (mod n) (即x＋y除以n的余数)。 证明n, ＋n是含么半群。 证明：封闭性：x, y∈n, 令k＝x＋y (mod n), 则 0≤k＜n－1, 即k∈n, 所以封闭性成立； 例13.2.3（续） 结合律：x, y, z∈n, 有 (x＋n y)＋n z＝x＋y+z (mod n)＝x＋n (y＋n z) 所以结合律成立。 单位元： x∈n, 显然有 0＋nx＝x＋n0=x 所以0是单位元。故n, ＋n是含么半群。 子半群和子含幺半群 将子代数应用于半群，可得下面的定义： 定义13.2.3 如果S, ?是半群，T是S的非空子集，且运算“?” 对T封闭，则称T，?是半群S, ?的子半群； 如果S, ?, e是含幺半群，T是S的非空子集，e∈T。且运算“?”对T封闭，则称T, ?, e是含幺半群S, ?, e的子含幺半群。 例13.2.4 设S, ?是含幺半群， M = {a | a∈S，?x∈S 有a?x = x?a}， 则 M, ?是S, ?的子含幺半群。 分析 需证明两点：幺元存在，运算“?” 封闭。 证明 (1) 设e是半群S, ?的幺元，则?x∈S，显然有 e ? x = x ? e， 因此，e∈M。进而M是S的非空子集。 例13.2.4（续） （2）对任意a, b∈M，由M的定义知，?x∈S，有 a ? x = x ? a， b ? x = x ? b， 又运算“*”满足结合律，则 (a ? b) ? x = a ? (b ? x) = a ? (x ? b) = (a ? x) ? b = (x ? a) ? b = x ?(a ? b)， 即 ?x∈S, (a ? b)? x = x ?(a ? b)， 因此，(a?b) ∈M。 由(1)、(2)可知：M, ?是的一个子含幺半群。 半群同态 利用代数系统中同态与同构概念，得到半群（含幺半群）的同态与同构。 设S, ?和T, ?是两个半群，映射f：S→T，对任意元素a, b∈S，都有 f(a?b) = f(a) ?f(b)， 则映射f就是半群S, ?到半群T, ?的同态映射。 半群同态（续） 如果半群S, ?和T, ?是含幺半群，其中e，1分别是S, ? 和T, ?的幺元，而且映射f满足： ? a, b∈S, f(a?b) = f(a) ?f(b)，且 f(e) = 1。 则映射f就是含幺半群S, ?, e到T, ?, 1的同态映射。 当f是单射、满射、双射时，相应的同态为单同态、满同态、同构。 例13.2.5 设映射f：N→6，且?x∈N， f(x) = x(mod 6)，则 （1）f是半群N, + 到6, +6的同态映射； （2）f是含幺半群N, +, 0到6, +6, 0的同态映射。 分析 （1），需证明? a, b∈N，有f(a + b) = f(a) +6 f(b) ； （2），在（1）的基础上，还需说明f(0) = 0。 例13.2.5（续） 证明