概统1.1(与大) .ppt

但是。。。 本学期只有17周。。。 时间紧，课程难，勤预习，多复习，考试时，全通过。。。 分赌本问题 甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌情，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平？ 六合彩 六合彩：在六合彩（49选6）中，一共可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以52（周）=268919年后获得头等奖。 三门问题 参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？ 三门问题 转换有三种可能的情况参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。转换而赢得汽车的机率是2/3 不转换也有三种可能的情况参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将失败。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将失败。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将赢得汽车。不转换而赢得汽车的机率是1/3 预备知识 第一节 排列与组合 乘法原理: 如果一个过程可以分成两个阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有m?n种的做法. 一, 排列从n个不同的元素中, 任意取出r个不同的元素(0 r ? n)按照一定的顺序排成一列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素中取r个不同元素组成的一种排列. 对于所有不同排列的种数, 通常表示为 先设0rn, 每一种排列由在r个有次序位置上各放上一个元素所组成. 第一个位置上的元素有n种不同的取法; 在它取定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有n-r+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列种数为 或改写为 当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0r?n时, 上述排列问题的答案总可以表达成 例1 计算从八个不同的元素中任取三个的排列种数.解 所求排列种数为 例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数?解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的数共有6?5种不同的取法. 从而所求的个数为 3?6?5=90 以上排列问题中参加排列的元素是不允许重复的. 但有时需要考虑允许重复的情况, 例如电话号码就允许数字重复. 现考虑从n个各不相同的元素里任取一个, 然后放回去, 再取一个, 然后又放回去, 这样共进行r次, 问所得不同的排列共有多少种? 显然, 这种情况下排列种数共有 例3 用0,1,2,...,9这十个数字组成三位数, 在这些三位数中,(1) 如考虑数字可以重复, 问可以组成多少不同的三位数?(2) 三个数字没有重复的有几个?(3) 三个数字都相同的有几个?(4) 只有两个数字相同的有几个? 二, 组合设有n个不同的元素, 从它们中间任取r个(0 r ? n)构成一组. 这里, 不考虑这r个元素的次序, 只研究有多少种不同的取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的组为一个组合. 对于所有不同的组合的种数, 通常把它记作 从n个不同元素中任取r个元素出来, 得到一个组合, 对这r个元素进行各种排列, 共得r!种不同的排列, 但所有这些排列均是由一种组合变来的, 所以排列的种数 例4 有五本不同的数学书, 八本不同的物理书, 从中任取两本数学书, 四本物理书. 问有多少种不同的取法? 第二节 集合 集合, 有时简称为集, 是具有某种特定性质的事物所组成的集体. 通常用大写字母A,B,C,...来表示集合. 组成集合的各个事物称为这集合的元素. 如果e是集合A的一个元素, 便记作e?A. 如果e不是A的元素记作e?A. 如果集合A是由元素e1,e2,...等组成的, 记作 A={e1,e2,...} 集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如,