柯西——与古萨基本定理 .pptVIP

第二节 柯西－古萨基本定理 一、问题的提出 三、典型例题 第三节 基本定理的推广 复合闭路定理 典型例题 第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 二、典型例题 四、小结与思考 由积分的估值性质, 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. [证毕] 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: [证毕] 3. 不定积分的定义: 定理三 (类似于牛顿-莱布尼兹公式) 证 根据柯西-古萨基本定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算. 例1 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, * 一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 观察上节例1, 此时积分与路线无关. 观察上节例4, 观察上节例3, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关。 先将条件加强些，作初步的探讨 —Cauchy 定理 Cauchy-Goursat基本定理： B C —也称Cauchy定理 (3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。 B B C 推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意 两点z0, z1∈B, 积分∫c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。 C z1 z0 C1 C2 C1 C2 z0 z1 例1 解 根据柯西－古萨定理, 有 例2 证 由柯西－古萨定理, 由柯西－古萨定理, 由上节例4可知, 例3 解 根据柯西－古萨定理得 复合闭路定理 典型例题 复合闭路定理 1. 闭路变形原理 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 得 ︵ ︵ ︵ ︵ 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 2. 复合闭路定理 那末 例1 解 依题意知, 根据复合闭路定理, 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 例3 解 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为?不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线?内即可. 一、主要定理和定义 二、典型例题 定理一 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理: 定理二 证 利用导数的定义来证. 由于积分与路线无关,