数学物理与方法1-4 .pptVIP

* 第一章：?? 复变函数论基础 1.4 ?复变函数的积分 柯西定理 在实变函数的微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要方法。同样，在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的重要方法和解决实际问题的有力工具。 定积分：分割、近似代替、求和、取极限 一 复变函数的积分—复平面上的线积分 (一)、复变函数积分的定义 与实数函数的积分相似，复变函数的积分定义为和的极限。 积分存在的条件：1. 积分曲线L是分段光滑的曲线； 2. 被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数。 存在，并且极限值与Δzk 和ξk 的选取方式无关，则称它为f(z)沿L从A到B的积分，记作： 定义：(1) 设L为复平面上由A到B的一条光滑的曲线，w=f(z) 在L上有定义； (2)将L任意分成n段，ξk为第k段[zk–1 , zk]上的任意一点； (3)当 n →∞ ，且 max|Δzk|→0 时，若和式的极限 方法二：若曲线L用参数方程 z=z(t)表示α≤ t ≤ β ，则 复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算 方法一： f(z)=u+iv，dz=dx+idy ——复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分 k：复常数 二、复变函数积分的性质(可由实变函数积分性质得到) 7. 若|f(z)|在曲线L上的最大值为M，曲线L的长度为S，则 证明： 证明：三角不等式 |z1+z2| ≤ |z1| +|z2| 推广为 例.1 计算 解：1. 直线方程 y = x 的参数方程为 则有：z = x +i y = (1+i)t 和 dz=(1+i)dt 2. (i) 由0→1直线的参数方程为 x =t , y = 0 (0≤t ≤1) 则：z = t，dz =dt (ii) 由1 → 1+i 直线的参数方程为x =1 , y = t (0≤t ≤1) 则：z =1 + it， dz = idt 故 结论：对于函数Re (z)，积分 与路径有关。 例2：计算 沿抛物线 y = x2 2. 沿连接点 1+i 到 2+4i 的直线段 3. 沿1+i 到 2+i，然后再到 2+4i 的折线 解：1. 抛物线参数方程为 x=t，y = t 2 (1≤t ≤2)，则 z = x+iy = t+it2，dz = d(t+i t 2) = (1+i 2t)dt 2. 1+i 到 2+4i 的直线方程： y=3x –2。其参数方程为 x = t，y=3t –2 (1≤t ≤2) 则： z = x + iy = t + i (3t –2) dz =d [t + i (3t –2)] = (1+3i) dt 因此 3. 沿折线 (1) 从1+i 到 2+i 线段的方程 x=t，y=1 (1≤t ≤2)，则 z = t + i，dz = dt，所以 (2) 从2+i 到2+4i 线段的方程 x=2, y=t (1≤t ≤4)，则 z = x + iy，dz = idt，所以 结论：对于函数 f (z) = z2 沿着不同的路径积分相同。 (?) 柯西定理 复习：二元函数积分的格林公式 实变线积分 在单连通区域D内与路径无关的充要条件： P(x,y)、Q(x,y)在D内的偏导数 和 连续，并且 。 由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分： 因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件。 (一)、单通区域的柯西定理 证明： 由 f (z) 解析可知 存在且连续，并且满足C–R条 件。 定理1 若f(z)在单通区域D内解析，则f(z)在D内的积分与 路径无关。 积分与路径无关要求： (2) 第一个积分要求： 两个实变线积分与路径无关，这样 (1) 连续 (已满足) 第二个积分要求： 此两等式正是C–R条件 与路径无关 定理2——定理1的另一种形式 若f (z)在单通区域D内解析，则f (z)在D内沿任意闭曲线的积分为零。 证明：在D内任做一闭曲线。在闭曲线上任取两点 L1 和 构成闭合曲线L，所以，根据定积分性质，有 由定积分性质，得 二、