数学归纳与法(合成) .pptVIP

1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ 正确解法：用数学归纳法证明 n2 　　即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何　　　都成立。 证明： 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ 那么当n=k+1时 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 ＝ + [2(k+1)－1］ k2 ＝ ＋2k＋1 k2 ＝ （k+1）2 （假设） （利用假设） 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 证明传递性 （凑结论） 用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确． 递推基础 递推依据 “找准起点，奠基要稳” “用上假设，递推才真” “综合（1）、（2），……”不可少！ 注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 （1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*) 证明 ：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(k?N*) 那么，当n=k+1时，有 2+4+6+8+…+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何n?N*等式都成立。 缺乏“递推基础” 事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！ 纠错!分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误： 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法 请修改为数学归纳法 证明 ①当n=1时,左边= , ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确. 证明 ①当n=1时,左边= , 这才是数学归纳法 ②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即 右边= 此时，原等式成立。 那么n=k+1时, 这就是说，当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确. 这不是数学归纳法 小结 1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用 2. 用数学归纳法证明: 1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1) ＝ 练习巩固 3、用数学归纳法证明： 4．求证:当n∈N*时， 1.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D: C 2.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 练习巩固 从n=k到n=k+1有什么变化 凑假设 凑结论 证明: 2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ 则当n=k+1时， + ＝ = ∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。 = 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立 练习巩固 3、用数学归纳法证明 证明: (1)当n=1时，左边=1,右边== =1. 命题成立 (2)假设n