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* * 3.4向量范数和矩阵范数 3.4.1先介绍向量范数 对一向量X=（X1,X2,X3）T 考虑其长度为 其长度定义满足三个条件： ①非负性： |X|≥0 , |X| =0当且仅当X=0 常数C有 ③三角不等式 对x、y R3,?有 ②齐次性： 向量的长度定义可推广到向量范数: 设n维向量x=(x1,x2,………xn)T所组成的实线性空间记为Rn 定义1： 设f(x)= 是定义在Rn的实函数，且满足 ① Rn 有 , ||X||=0当且仅当X=0 ② 常数C，有 ③ X、Y Rn，有 则称 为Rn的向量范数 常用的三种范数有： 向量1范数： 向量2范数： （长度定义） 向量 范数： 例：对x=(2,-1,2) R3 则 ||X||1=2+1+2=5 定义2 : 对n维向量x,y Rn，向量x与y的距离可定义为||x-y|| ， ||.||可以是上面任一范数。 3.4.2 矩阵范数（向量是矩阵的特殊形式） 用Rn*n表示n*n阶矩阵组成的实线性空间, 定义：设f(x)=||X||是定义在Rn*n的实函数， 且满足上述三个条件，则称||.||为Rn*n的范数矩阵。 常用的范数矩阵有： 所有行元素绝对值之和最大值 所有列元素绝对值之和最大值 其中ρ(B)称为矩阵B的谱半径, ρ(B)=max ( 表示矩阵B的特征方程) （所以表示为矩阵B的特征值的最大绝对值） 矩阵范数不仅满足上述3个性质，即 （1） 当且仅当A=0 （3） （2） 还有一些性质： Rn，A Rn*n，有 （向量与矩阵关系） Rn*n，有 （矩阵与矩阵关系） （5） （4） 例：A= ，求 ∴AT*A的特征方程为 解得 , ∴ 3.5 迭代法 适用于求解大型方程组 设矩阵形式： ① 其中,向量 ，B称为迭代矩阵。 取初始向量： ，利用迭代函数： 如果 有极限值 ，则 为方程组的解。 这是因为对①两边取极限得 例： 迭代公式不止一种，常用方法： ， 迭代公式为： 初始值: 迭代得： 注意：迭代公式不同，迭代结果不一定收敛；迭代是否收敛与迭代公式有关，即与B有关，也称为迭代矩阵。 给出迭代收敛的充分条件： 定理3.2 给定方程组 如果 ，则有下列性质： （范数可为 ，1，2任一范数） 1) 有唯一解 ; 2) 对任意初始向量 ，迭代公式收敛于 ,且有 3) 4) 证明： ①反证法： 若有两解 且 则 , 两边取范数: 且非负, 与 矛盾。 ② 取范数： ③反推法： 只需证： 利用不等式： ④: 由③知 且 得证. 注意:上定理为充分条件,且对 都适用。 例： 构造迭代公式，判断收敛性。 解: 迭代收敛 若将方程顺序交换为 此时 对 , 此时不能判断是收敛还是发散. 主要原因是上述定理中的||B||范数值要求较大， 下面给出迭代法收敛的充要条件。 定理3.3 对线性方程组 , 迭代公式对任意初值 都收敛的充要条件是 . 证明略，可参见相关文献。 这里 为谱半径(不需要开根号和转置矩阵运算) （该定理可参见文献） 的值相对较小. 另外有 3.5.2 雅可比迭代法（Jacobi） 思路：用第i个方程解出 对方程组 可令A为 D(对角矩阵) L(下三角) U(上三角) 即A=D+L+U 将 转为 可将 ，两边同乘以 得: 迭代矩阵为 可利用定理3.3判断雅可比迭代公式是否收敛 考虑J的特征方程： 左边提取 得: 即将原系数矩阵A的对角乘上 , 所得新矩阵的行列式值为0 一般地, 例： 解： 迭代矩阵可得 特征方程： 或 (迭代发散) 3.5.3 高斯-赛德尔迭代法(Gauss-Seidel法，G-S法) 已计算出, 而仍使用旧分量 , …, , 则产生多余误差. 可以使用新分量 ，…， 进行计算. 特点：∵新分量比旧分量更准确， ②G-S法可以减少存储量, 使用Jacobi