数值分析与09-常微方程数值解法 .ppt

阜师院数科院 第八章 常微分方程数值解法 第八章目录 第八章 序 第八章 序 微分方程 数值解 §1 欧拉（Euler）法 1.1 Euler法及其简单改进 Euler公式的推导(续1） Euler公式的推导（续2） Euler公式的推导（续3） Euler公式的推导（续4） Euler公式的推导（续5） 2）以右矩形面积代替曲边梯形：如图8-3亦即以 Euler公式注释 Euler公式注释（续） 关于Euler法的整体截断误差注释 关于Euler法的整体截断误差注释（续） 结 论 结 论（续） 1.2 改进的Euler法 改进的Euler法(续） 预测──校正型公式 改进的Euler公式的局部截断误差分析 改进的Euler公式举例 表格8-1 表格8-2 表8-2计算结果说明（续） §2 龙格-库塔（Runge-kutta）方法 龙格-库塔方法的基本思想(续） 2.2 二阶龙格-库塔公式 二阶龙格-库塔公式（续1） 二阶龙格-库塔公式（续2） 二阶龙格-库塔公式（续3） 构造二阶R-K公式的主要步骤 2.3 高阶R-K公式 高阶R-K公式（续1） 高阶R-K公式（续2） 高阶R-K公式（续3） Gill 公式 初值问题两种方法举例 例3（续1） 例 3 （续2） 例 3 （续3） 表8-6 的说明（续） 2.4 变步长R-K法 变步长R-K法（续1） 具体做法 变步长四阶标准R-K法解初值问题举例 §3 线性多步法 3.1 阿当姆斯Adams公式 阿当姆斯Adams公式（续） r+1步阿当姆斯显式公式 （又称Adams-Bashforth公式） r+1步阿当姆斯隐式公式 （又称Adams- Moulton公式） r+1步阿当姆斯隐式公式 （又称Adams- Moulton公式）（续） 四阶阿当姆斯显式公式 四阶阿当姆隐式公式内插公式及其局部截断误差为（取xn-2,xn-1,xn,xn+1为插值节点）： 阿当姆斯公式举例 阿当姆斯预测—校正公式 阿当姆斯预测—校正公式（续） 阿当姆斯带误差修正的预测—校正公式 3.2 哈明(Hamming)公式 哈明(Hamming)公式（续1） 哈明(Hamming)公式（续2） Hamming公式（预测一校正公式） Hamming公式（预测一校正公式）（续） §4 一阶方程组与高阶方程初值问题 一阶方程组（续1） 一阶方程组（续2） 4.2 高阶方程初值问题 高阶方程初值问题举例 例5（续） §5 收敛性与稳定性 5.1 收敛性 5.2 稳定性 稳定性（续1） 稳定性（续3） 稳定性（续4） 第八章 结 束 一般的线性多步公式（8-21）还可用待系数法并借助泰勒展开导出。例如考虑确定如下形式的四阶公式 ： 其中y?n表示fn。只需求系数?j、?j，使其局部截断误差T=O(h5) 即可。局部截断误差为 ： 将其在xn点进 行泰勒展开，得： （紧接下屏） 令hk(k=0,1,…4) 的系数为0,得关于?j、?j的方程组 : 方程组有六个未知数，而只有五个方程，因此有无穷多解，取?1为自由参量，则有: 当?1=0时，得公式： 这是一个四阶隐式公式。 完全类似，可导出如下形式的四阶显式公式： 其中最常 用的是： 用显式公式（8-34）与隐式公式（8-33）联合可组成 预测一校正公式 此式称为哈明（Hamming）公式，大量数值实验表明，此公式的数值稳定性在同类公式中几乎是最好的。 为了进一步改善哈明公式计算结果的精度而又不致增加过多的计算量，可仿照带误差修正的阿当姆斯预测一校正公式，建立一个带误差修正的哈明公式 ： （紧接下屏） 前面介绍的四套预测一校正公式（8-28）、（8-29）、（8-32）、（8-33）都是实际计算中常用的方法，它们的 共同特点是计算量省而精度高，但都必须用别的单步法 为其提供出发值，由于解题过程是递推进行的，所以出 发值的精度对以后的计算影响很大，故一般采用四阶龙 格一库塔法求其出发值。 4.1 一阶方程组 下面以两个方程的情形为例，介绍一阶方程组的数值解法。设初值问题： 若采用向量记号，记： 则初值问题（8-34）可表示为： 它与初值问题（8-1）形式上完全一致，前面介绍的解初值问题（8-1）的各种数值方法均可用于解一阶方程组初值问题（8-35），只要将公式中的y与f换成向量y与f即可。 例如：解初值问题 （8-35）的欧拉公式为： 即： 写成分量形式即为： 又如解初值问题 （8-35）的四阶 标准龙格-库塔 公式为： 写成分量形式为： 高阶