数值分析与 ch6-2特征值 .pptVIP

阜师院数科院 7刚性问题 化学反应、自动控制、电力系统等领域经常遇到一类病态方程组称为刚性方程组或者Stiff方程组。例如 y’1 = -0.01y1 - 99.99y2 y’2 = -100y2 y1 (0)=2 , y2(0)=1 其解为y1 = e -0.01x + e -100x , y1= e -100x 由于e -0.01x 变化很慢，当x≤391时， y1 ≥ y1(0)/100，即y1变化不到1%。 如果用经典的Runge-Kutta方法求解，该方法的稳定区间是(-2.78，0)所以由第二个方程看到，步长h应该满足 100h2.78 h0.0278 这样，在求解区间（0，391）上必须计算14065步，计算量很大。 对于一般问题 y’ = Ay +b( x) y(x0)= y0 其中A是m阶方阵。 如果系数矩阵A的特征值λi具有如下特征 Re λi 0 max| Re λi |/min| Re λi |是很大的数，则称之为刚性方程组。 非线性方程组 y’ = f ( x, y) y(x0)= y0 也存在同样的问题，只是λi表示矩阵 这类问题解的特点是开始阶段变化很剧烈，之后进入稳定阶段。 从数值方法的角度，开始阶段自然应该应用精度高的Runge-Kutta方法，但是进入稳定阶段从数值稳定性角度，步长仍然有限制。 解决问题方法：寻找稳定的差分格式！ 例如隐格式。 预估校正法 预估 校正 其中 例如： 求下列方程组的数值解 y’1=0.04(1-y1)-(1-y2) y1+0.0001(1-y2)2 y’2= -104y’1 +3000(1-y2)2 y1 (0)=0 , y2(0)=1, 0≤x≤100 如果用经典Runge-Kutta方法计算，必须h≤0.0005,若用h=0.001，计算结果发散。若取h=0.00025，需要4×105步。 如果在[0,0.1]区间，用h=0.00025经典Runge-Kutta方法计算，在区间[0.1,100]用h=0.2的差分格式(7-5) ，则整个计算只需要9×102步。 8二阶边界值问题 常微分方程二阶边界值问题一般可写成 y’’ = f ( x, y, y’) x∈( a, b) (8-1) 并且结合下列三种边界条件之一 y(a)=A , y(b)=B (8-2) y’(a)=A , y’(b)=B (8-3) y’(a)-A0 y(a)=A1 , y’(b)+B0 y(b)=B1 (8-4) (8-4)中A0 ≥0，A0+B0 0,它们分别称为第一、二、三边界问题。 8-1打靶法 考虑第一边界问题 y’’ = f ( x, y, y’) x∈( a, b) (8-1) y(a)=A , y(b)=B (8-2) 通常采取逐次逼近的方法，基本过程如下：取初值问题 y’’ = f ( x, y, y’) x∈( a, b) y(a)=A , y’(a)=tk (8-3) 其中tk是一个数列，假设解是y(x ,tk)，而且要求y(x ,tk)→y(b)=B (k→∞)。 这时所得的解y(x)就是问题的解。如图 问题归结成非线性方程求根问题： y( x, t)–B=0 通常可以采取二分法、插值法、牛顿法。并且把这些方法称为打靶法。 y’(a)=tk 称为试射速度。 9有限差分方法 有限差分方法的中心思想是:分化区间[a, b]，例如h=(b-a)/n, xk=a+kh,k=0,1,…,n 用差商逼近导数，离散方程和边界条件，建立关于解函数在离散点处函数值的代数方程组进行求解。 例如 y’’ = f ( x, y, y’) x∈( a, b) (8-1) y(a)=A , y(b)=B (8-2) 用差商代替微商离散化 * 微分方程数值解 哈工大 计算数学 * (7-1) (7-2) (7-3) 的第i个特征值，比值 max| Re λi |/min| Re λi | 称为刚性比，也称Stiff比。方程（1）的刚性比是