数值分析与-习题4 .pptVIP

* 数值求积公式及代数精度 数值求导方法与截断误差 一阶常微分方程数值法 局部截断误差与精度 《数值分析》习题课 IV ? ? ? ? 插值型求积公式: 令 求积余项 拉格朗日插值 等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度 2/18 1.梯形公式 2. Simpson公式 复合梯形求积公式 令h=(b-a)/n 误差 3/18 高斯型数值求积公式 t∈[-1, 1] 思考:三点求积公式 4/18 Gauss点 如果求积结点x0, x1,···,xn,使插值型求积公式 代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式. 称这些求积结点为Gauss点. 定理7.2 如果多项式wn+1(x)=(x – x0) (x – x1)···(x – xn) 与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交,则 wn+1(x)的所有零点x0, x1 ,······, xn 是Gauss点 正交多项式: 1.勒让德多项式: p0=1, p1=x, p2 =0.5(3 x2 – 1 ) 2.切比雪夫多项式: T0=1, T1=x, T2=2x2 – 1 ,········ 5/18 一阶向前差商 一阶向后差商 二阶中心差商 一阶中心差商 6/18 外推算法 思考：一阶中心差商和二阶中心差商的外推公式？ 7/18 1. Euler方法 常微分方程初值问题 2. 梯形公式: 8/18 预测-校正公式 局部截断误差概念 设 yn= y(xn), 称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差 常表示为: O(hp+1)， p 称为单步法的精度阶数 又称为修正的Euler公式 yn+1= yn+ 0.5h[ k1+ k2] k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1) 9/18 二阶Range-Kutta公式一般形式 yn+1= yn+ h[c1k1+ c2k2] k1=f (xn, yn) k2=f(xn+λ2h, yn+μ21hk1) ( n=0,1,······ ) yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3) 四阶龙格-库塔公式(称为经典公式) 局部截断误差为 O(h5) ( n=0,1,······ ) 10/18 初值问题 Euler公式 : 即 二阶Range-Kutta公式 11/18 高阶常微分方程初值问题 令 y1=y, y2=y’ 一阶常微分方程组 初值条件: 令 y1=y, y2=y’ y3=y” y1’=y2 y2’=y3 y3’=f(x, y1, y2, y2) 12/18 Ex1.推导矩形求积公式 令 F(u)= F(a) + (u-a)F’(a) +0.5(u-a)2F ”(?) 思考: 13/18 *