数值分析与 -lec13-一元插值 .pptVIP

定理1: 差商具有如下性质 (1)差商与函数值的关系为 (2)差商与结点排列顺序无关 例:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2. 写出四次Newton插值多项式N4(x) 解:1.差商表 P4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80) 2. 定理：设 x0, x1, …, xn 是n+1个互异的实数，对于给定的x，函数f(x)有n+1次导数，则Lagrange或Newton插值多项式的插值余项为： 事后误差估计 例:已知f(x)=ex 的数据点如下： （1）用x1, x2, x3构造二次Lagrange插值多项式L2(x)， 并计算e1.5的近似值L2(1.5) 。 （2）用事后误差估计方法估计L2(1.5)的误差。 xi 0 1 2 3 exi 1 2.7183 7.3891 20.0855 L2(1.5)=4.0505 当f(x)是次数不高于n的多项式时，不论节点如何选取，pn(x)=f(x); 当f(x)≡1, 当f(x)=xp, p≤n, 由Newton和Lagrange共同得到 由差商的概念可得 * 线性插值仅仅用两个节点的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题： 数值分析 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 Email: numerical_analysis@ Password:beihang 答疑时间：星期四下午2:30－5:30 答疑地点：主216 第十二讲插值与逼近 第五章插值与逼近 插值和逼近是解决什么问题的？ 用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。 (1)复杂函数的计算; (2)函数表中非表格点计算; (3)光滑曲线的绘制; (4)提高照片分辩率算法; (5)定积分的离散化处理; (6)微分方程的离散化处理; (7)积分方程的离散化处理; 插值方法的应用: 3/18 例如：在工程实践和科学实验中，经常需要建立函数关系，即y=f(x)。但通常只能观测到它的部分信息，这些值构成了观测数据： 而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一 个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。 xi x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn) 插值的任务就是由已知的观测点( xi , yi )为物理量(未知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。 o x y ● ● ● ● ● y0 x1 x2 xn y1 y2 yn x0 y=f(x) g(x) 机翼断面的下轮廓线如图所示，下表给出了下轮廓线上的部分数据。用程控铣床加工时，每一刀只能沿 x 方向和 y 方向走非常小的一步。例如，如果工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位，这时就需要求出当 x 坐标每改变0.1单位时的y坐标。试完成加工所需的数据，画出曲线。 例：机床加工 xi 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 yi 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 插值法:由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 , y1 , … , yn 构造一个简单函数 F(x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式 y= f(x) ? F(x) 使 F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , ?, F(xn)=yn (a) 这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数， x0 , x1, ... , xn