微积分03与 导数 .pptVIP

第一节 导数的概念 一、导数概念的引例 二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结 第二节 求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数 2.由参数方程所确定的函数的导数 而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即 ． 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的直线运动，设位置函数为 则速度为 如 阶导数 例16 设 ，求 解 特别地， 根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算． ,…, 例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数） …… 解 设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 (1)求增量:给自变量一个增量 ，则 证(1)、(2)略. 证(3) 令 (2)算比值: (3)取极限:因在点 处可导，则在该点处必连续，故当 时, ， . 又当 时， 所以， 特别地，若 则可得公式 定理推广： 例1 设 ,求 解 例2 设 ,求 ． 解 用类似地方法，可得 解 例3 求 的导数． 即 例4 求 的导数． ． 用类似地方法，可得　 即 解 定理2 即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法） 或 或 二、复合函数的求导法则 证 如三层复合， 或 或 推广 对于多次复合的函数，其求导公式类似， 解 可看作是由 复合而成的，因此 例5 设 ，求 ． 例6 设 ，求 ． 解 三、反函数的求导法则 如果单调连续函数 在某区间内可导,且 ，则它的反函数 在对应的区间内可导，且有 定理3 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 因 是 的反函数，故可将函数 中的 看作中间变量，从而组成复合函数 ．上式两边对 求导，应用复合函数的链导法，得 证 或 因此 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间 内，有 求函数 的导数． 例7 解 即 同理可得 例8 求函数 的导数 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ,因此在对应的区间 上，有 解 即 同理可得 1.常数和基本初等函数的导数公式 四、初等函数的导数 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 3.复合函数的求导法则 注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. (2)初等函数的导数仍为初等函数. 例9 设 ，求 ． 解 所以 例10 解 解 方法1 函数 可以写成 所以 例11 求 将函数 两边取自然对数，即 ．两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有 因此 方法2 方法2称为对数求导法，一般地对于函数 （称为幂指函数） 对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数． 解 等式两边取对数得 例12 五、隐函数和由参数方程确定函数得导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?