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上页 下页 铃 结束 返回 首页 第五章 不定积分 微分法: 积分法: 互逆运算 引 言 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。 上页 下页 铃 结束 返回 首页 引 言 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 上页 下页 铃 结束 返回 首页 本章内容 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、基本积分公式 四、换元积分法 上页 下页 铃 结束 返回 首页 五、分部积分法 六、综合杂例 七、不定积分在经济（社会）中的应用例说 一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 §5.1 不定积分的概念 上页 下页 铃 结束 返回 首页 理解“原函数(反导数)”的概念.知道它是求导的逆运算。 理解“不定积分”是微分运算的逆运算，掌握不定积分的性质。 教学目的与要求： 重点：原函数(反导数)，不定积分的概念，不定积分的性质。 难点：原函数(反导数)。 教学重点与难点： 引例 例1? 如果已知物体的运动方程为s?f(t)? 则此物体的速度是距离s对时间t的导数? 一个相反问题是? 已知物体运动的速度v是时间t的函数v?v(t)? 求物体的运动方程s?f(t)? 使它的导数f ?(t)等于已知函数v(t)? 例2? 如果已知某产品的产量P是时间t的函数P?P(t)? 则该产品产量的变化率是产量对时间t的导数P??P?(t)? 一个相反问题是? 已知某产量的变化率是时间t的函数P?(t)? 求该产品的产量函数P(t)? 微分(differentiation)求导数 积分(integration)求反导数 如果知道 而要求出 ,或者一般地 “已知函数 ,求 使得 问题称为计算原函数(反导数)。 ”这样的 例如，在区间 (-?, +?)内，因为 (sin x)??cos x， 所以 sin x是 cos x的一个原函数。 提问： cos x还有其它的原函数吗？ 提示： cos x的原函数还有sin x+C。 一、原函数 原函数(反导数) ： 定义5.1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f(x)，即对任一 x?I ，都有 F ?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx， 则称函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 I 上的原函数。 下页 对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子 若存在可导函数 则由 的定义 关于原函数的说明： （左、右极限存在且相等） 而已知 矛盾 这说明 没有原函数 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. （2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？ ①若 ，则对于任意常数 ， ②若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） -1 O 1 x y y=x2 C1 y=x2+C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 因为 证 （1） （2） （3） 例 试证 （ 1 ） x x x cos sin + 是 x x cos 的原函数 ( 反导数 ) （ 2 ） x x x sin cos + - 是 x x sin 的原函数 ( 反导数 ) （ 3 ） x x e xe - 是 x xe 的原函数 ( 反导数 ) 解： 从这个例子可以看出, 原函数(反导数)计算的是否正确，可以通过再求导数来加以验证。 二、不定积分 不定积分的相关名称： ? ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， x ———叫做积分变量。 f(x)dx —叫做被积表达式， 定义5.2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分， 下页 积分号 被积函数 积分变量 dx x f ò ) ( 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 其中 C 是任意常数，称为积分常数。 下页 二、不定积分 定义5.2 函数f(x)的所有