范德蒙德行列式的应用.pdfVIP

青岛科技大学本科毕业设计 （论文） 前言 在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列 式都有着广泛普遍的应用。 行列式本身有着悠久的历史。行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理 论体系已基本形成了。 早在 1545 年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。 1683 年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。同年，德国数学家莱布尼茨首先开 1 始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数  。莱布尼茨这种 解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。 1771 年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了 开创性研究，他是行列式的奠基者。范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为 理论基础，为群的概念研究奠定了基础。范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。范 德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数 学家。他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列 式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。1772 年， 皮埃尔-西蒙 ·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作 中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。自此时起，便是人们对行列式单独研 究的开端。 19 世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。第一个给出行列式系统理论的是 伟大数学家柯西。他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。1832 至 1833 年间卡尔 ·雅 可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839 年，卡塔兰发现了雅可比行列 式。1841 年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。 而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所 以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应 用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式， 就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。在我们运用范德蒙德行列式进行计算或 者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙德行列式，但是有些行列式则需要 经过增加一行一列才可以应用范德蒙德行列式的相关性质进行计算；有些行列式则需经过 加边、拆行方可利用范德蒙德行列式；当我们遇到含有齐式元素的行列式时，我们则可以 考虑利用行列式的乘法转化成两个行列式的积，进而在应用范德蒙德行列式进行简化计 算；当我们遇到含有二项式元素的行列式时，我们可以利用行列式的乘法后，再应用范德 蒙德行列式进行计算；当我们遇到以多项式系数和常数项为元素的的行列式的时候，我们 可以借助单位原根以及范德蒙德行列式进行运算，从而也就出现了范德蒙德行列式的推广 形式。由此可见，范德蒙德行列式是行列式中及其重要的一种形式。 1 范德蒙德行列式的应用 1 范德蒙德行列式的定义及性质 1.1 基本定义 1 1 1  1 x x x  x 1 2 3 n 2 2 2 2 形如 x x x  x 的行列式，称为 x ， x ，…， x 的n 阶范德蒙德 1 2 3 n 1 2 n     