第章 随机信号分析.doc

第三章 随机信号分析 § 3.1　引言 一、随机过程的概念 随机变量：在每次试验的结果中，以一定的概率取某个预先未知，但取值范围确定的数值。 在无线电技术中，常常必须涉及到在试验过程中随时间而改变的随机变量。例：自然界中的各种电磁声噪声]通信设备本身产生的热噪声、散粒噪声，甚至通信系统传输的信号对接收者来说也是预先未知的随时间变化的随机变量。 随机函数：随某参量而变化的随机变量。 随机过程：随时间变化的随机变量。 随机过程兼有随机变量和随机函数的特点。 二、随机过程以及其样本函数 实验：对接收机的输出噪声电压（或电流）的观察。 不同的观察结果都可能会记录下不同电压的具体波形，例如：, 但由于噪声电压的随机性，不可能出现两次观察记录完全一致的电压波形。所有可能的的集合就组成了随机过程的描述，而每次观察的记录都是一个确定的时间函数。 样本函数或实现：随机过程每一次记录的一个确定的时间函数，称为随机过程的一个样本函数或一个实现。 *随机过程的另一种定义：随机过程是这样的函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取一定的、但预先未知的时间函数。 三、随机过程与随机变量的关系 当参变量t固定在某一时刻t1时，由上图可见，各样本函数的取值为：其中的取值可能各不相同，且具有随机性。所有的{}构成一般意义下的随机变量，即：随机过程在某一时刻的取值为一随机变量。 当t取不同的固定值t1，t2，…，t n时，随机过程将产生一族随机变量。而这一族随机变量是随着时间t而变化的，这就是两者之间的关系。其告诉我们通过对随机过程在不同时刻的随机变量特征的分析可以近似的描述和研究随机过程的特征。 § 3.2　随机过程的一般描述 随机过程的概率分布和密度函数 设为一随机过程， ∵ 任一时刻t1上的是一随机变量 故的概率为： 其称为随机过程的一维分布函数。 若存在，则 称为的一维概率密度函数。 一维特征只能描述随机过程某一时刻的随机特征，故可用的n维的分布函数和密度函数来近似地描述随机过程，即： 理论上，可以无限地增加n和减小时间间隔，从而可精确地描述的统计特性。但实际上非常不方便，甚至无法做到。所幸的是，在许多实际问题中，掌握二维分布特性就已经能够描述通信中所遇到的随机过程。 随机过程的统计平均特征（数字特征） 数学期望（统计平均值） 对随机变量，可求。由于的任意性，因此，随机过程的数学期望是t的确定函数，即： 。 是t的确定函数，随机过程就是在它附近变动。 如为一噪声电压或电流，的物理意义：噪声电压或电流的瞬时统计平均值。 方差 定义随机过程的方差为：（的任意性，将写为 ） 也是t的确定函数，物理意义：噪声电压或电流在单位电阻上消耗的瞬时交流功率的统计平均值。 其中，是非负函数，其平方根称为随机过程的标准差： 自相关函数 数学期望与方差只描述了随机过程各时刻点函数值的统计平均特征，并没有反映出随机过程的各时刻间随机变量的相互关系，即随机过程的内在联系-----各时刻间随机变量的关联性，波及性。 例如：和两个随机过程，尽管有大致相同的数学期望和方差，但二者的内部结构却可能有明显的差别。 若随时间变化缓慢，则不同时间的取值之间有较强的关联性（或称相关性）； 若随时间变化急剧，则不同时刻的取值之间相关性要弱得多。 自相关函数就是用来描述随机过程的这种内在联系的特征。自相关函数定义为： 它反映了在任意两个不同时刻取值之间的相关程度。 自协方差函数定义为： 两者间关系： 相关函数和自协方差函数是和的确定函数。 若，则 都是和的函数。其中，表示时间起点，表示时间间隔。 § 3.3　平稳随机过程与各态历经过程 平稳随机过程是通信系统中最常遇到，也是最重要的一种特殊类型的随机过程。 平稳随机过程的定义 狭义平稳随机过程 设为一随机过程，如果对于任意的n和，其n维概率密度满足： 则称是狭义平稳随机过程。即：狭义平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。也就是说，其统计特性在相当长的时间内是不变的。 例：今天测的与以前测的统计特性相同。 根据以上定义不难得到： 以及： 　 可见：狭义平稳随机过程的数学期望和方差都是常数，与时间无关；相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。 问题：只有了解了概率密度函数的特性才能判断随机过程的平稳性。往往很难获得定义中的条件。因此，有： 广义平稳随机过程的定义 设为一随机过程，若满足： 则是广义平稳随机过程或弱平稳随机过程。 狭义与广义间关系 狭义平稳必定是广义平稳的，但反之则不一定。 因为：狭义平稳的定义条件本身包含了广义平稳的条件。（由上述结果可知）。但满足广义平稳条件的随机过程，它的n维概率密度函数却不一定能满足狭义平稳的条件要求。因此它未必是狭义平稳随机过程。今后均指广义平稳。 广义平稳可避开概率函数的获取。