第二十五讲：直线与方程.doc

第二十五讲 直线与方程 一、引言 （一）本讲的地位：直线与方程是解析几何的重要内容，也为我们继续学习圆及圆锥曲线奠定了思想和方法基础，对于解析几何的学习和研究具有重要意义，是高考的重要考点一． （二）考纲要求：在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． (三)考情分析： 高考对本部分内容的考查侧重基本技能，以选择和填空题为主，主要考查倾斜角、斜率、直线方程、两条直线的平行与垂直、点到直线的距离等． 二、考点梳理 1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为可见，直线倾斜角的取值范围是． 2．直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． 3．直线方程的五种形式 点斜式：，斜截式：， 两点式：，截距式：， 一般式：（其中不同时为0）． 4．两条直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有∥． 5．两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直．即． 另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况． 6．两条直线的交点坐标 将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有惟唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行 7．点到直线距离公式： 点到直线的距离为：． 8．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ：，则与的距离为 三、典型问题选讲 例1 经过，两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______． 解：经过，两点的直线的斜率，故倾斜角为． 归纳小结：本题考查过已知两点的斜率和倾斜角．解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式，并理解斜率和倾斜角之间的内在关系，． 例2 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：直线恒过定点． 直线与轴和轴的交点设为， 则两点的坐标分别为，． 直线的斜率为，对应的倾斜角为， 直线与轴垂直，对应的倾斜角为．故为正确选项． 归纳小结：本题考查直线的倾斜角与斜率，认识到直线是过定点的直线系是问题解决的关键． 通过特殊位置的研究，得到问题的答案，充分体现了数形结合的思想方法，同时对计算能力和三角函数的基础知识也有一定要求． 例3 已知过点和点的直线与直线平行，则的值为（ ） A． B． C． D． 解：过点和点的直线的斜率为． 直线可变形为，故其斜率为． ∵过点和点的直线与直线平行， ∴． 解得 ． 故为正确选项． 归纳小结：两条直线平行，是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考考查的重点．本题要先由两点坐标表示出对应直线的斜率，再由两条直线平行，斜率相等，建立关于的方程，通过解方程得到问题的答案． 本题的解题过程，充分体现了解析几何的本质：用代数方法研究图形的几何性质． 要认真体会数形结合思想及方程思想． 例4（2009安徽卷）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A． B． C． D． 解：直线的斜率为． 因为所求直线与直线垂直， 所以，所求直线的斜率为． 线过点，由点斜式得直线方程为， 即． 归纳小结：两条直线垂直是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考的考察重点内容．当两条直线垂直且斜率存在时，其对应的斜率乘积等于．本题先由直线的互相垂直关系，求出所求直线的斜率，再由点斜式求出了直线方程．注意体会方程思想，同时，要注意，直线方程的确定要根据具体情况，选择合适的形式． 例5（2007年天津卷）“”是“直线平行于直线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：①当时，直线为，斜率为， 直线的斜率亦为．即当时，两条直线的斜率相等，故两条直线平行． “”是“直线平行于直线”的充分条件． 直线， ②当直线平行于直线斜率必存在且等于-1．即，，． 所以，“”是平行于直线的被两平行线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是（ ） ① ② ③ ④ ⑤ 其中