离散序列的相关函数.docx

第6章 功率谱估计离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计现代功率谱估计6.1 离散随机序列的特征描述随机过程的分布函数随机信号的数字特征平稳各态遍历随机信号的时域描述平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度）一、随机过程的分布函数{X[k], k?Z}表示一个随机过程一维分布函数二维分布函数N 维分布函数二、随机信号的数字特征均值方差自相关函数互相关函数三、平稳各态遍历随机信号的时域描述1 平稳随机序列指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列严平稳随机序列：宽平稳随机序列：平稳随机信号自相关函数特性对称性（2）极限值（3）不等式2. 各态遍历随机信号集平均等于时间平均四、平稳各态遍历随机信号的频域描述功率谱密度维纳——辛钦公式当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对。6.2 平稳随机序列通过LTI离散时间系统输出序列的均值输出序列的自相关函数输出序列的功率谱输入/输出序列的互相关函数及互功率谱平稳随机序列通过LTI系统一、输出序列的均值H(ej0)二、输出序列的自相关函数Ry[n]是系统单位脉冲响应h[k]的自相关函数Rh[n]与输入随机序列X[k]的自相关函数Rx[n]的卷积.系统单位脉冲响应h[k]是确定信号，其自相关函数定义为三、输出序列的功率谱四、输入/输出序列的互相关函数及互功率谱互相关互功率谱[例]一离散时间平稳白噪声通过一阶IIR数字滤波器求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。零均值白噪声的特征解：（1）计算输出的自相关函数（2）输出平均功率（3）输出功率谱经典功率谱估计谱估计的质量相关法(间接法)周期图法(直接法)周期图法的改进利用MATLAB实现功率谱估计一、谱估计的质量1．估计量的偏差2．估计量的方差3．估计量的均方差二、相关法(间接法)进行功率谱估计相关法的理论基础自相关函数估计的计算相关法进行功率谱估计功率谱估计的质量1. 维纳—辛钦定理计算方法：（1）由随机序列一个样本的N个观测值计算自相关函数的估计（2）对进行DTFT即得该随机序列的功率谱估计2. 自相关函数估计的计算X[k]是宽平稳各态遍历随机信号，x[k]是其一个样本已知x[k]的N个观测值x[0],x[1],?,x[N-1]，则自相关函数的估计为[例]已知平稳各态遍历的实随机序列X[k]的单一样本的N个观测值为x[k]={1, 0，-1}，试计算该随机序列的自相关函数估计。解:利用MATLAB计算相关函数的估计1. 利用conv函数计算2. 利用数字处理工具箱中提供的函数xcorrxcorr(x,y); %随机序列X和Y的互相关xcorr(x); %随机序列X的自互相关利用DFT计算自相关函数的估计1) 对x[k]补零形成L点序列2)3)3. 相关法进行功率谱估计[例]已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为x[k]={1, 0，-1}，试利用相关法估计其功率谱。解：X[k]的自相关函数估计值为对进行傅里叶变换得X[k]的功率谱估计4. 相关法功率谱估计的质量功率谱估计的质量与自相关函数估计的质量密切相关N?￥，偏差、方差趋于零，是一致估计。N 固定时，n?N，偏差、方差较大三、周期图法(直接法)进行功率谱估计周期图法功率谱估计的计算周期图法功率谱估计的质量1. 周期图法功率谱估计的计算已知: 方法基础:由维纳—辛钦定理周期图法功率谱估计的步骤其中[例]已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为x[k]={1, 0，-1}，试利用周期图法估计其功率谱。解：对x[k]进行离散时间傅里叶变换功率谱估计为：平稳高斯白噪声功率谱估计结果(周期图法)2. 周期图法功率谱估计的质量均值N￥?，E{IN(W)}= Px(W)}，渐进无偏估计方差N增加，方差不减小，不是一致估计四、周期图法的改进问题的提出平滑周期图(Blackman-Tukey法)平均周期图法(Bartlett法)重叠平均周期图法(Welch法)1. 问题的提出周期图法进行功率谱估计, 方差不随N的增加减小.如何提高谱估计质量?减小方差方法:1. 对自相关函数估计值加窗2. 将N个观测值分段, 计算各段的周期图, 再取平均2. 平滑周期图(Blackman-Tukey法)对自相关函数估计值加窗, 将误差较大的估计值截去窗函数w[n] (MN)满足下述条件B-T法进行功率谱估计的主要步骤(1) 利用观测数据估计自相关序列。(2) 对自相关函数估计值加窗。(3) 计算加窗后自相关函数的DTFT。优点：PM(W)波动比IN (W)小，可证是一致估计缺点：降低了频率分辨率3. 平均周期图法(Welch-Bartlett法)将随机序列X[k]的N个观测值分成A段第i段序列的周期图为平均周期图平均周期图