概率论与数理统计第三版第章.doc

§2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 例：袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为 我们记取出的黑球数为，则的可能取值为1，2，3．因此，是一个变量．但是，取什么值依赖于试验结果，即的取值带有随机性，所以，我们称为随机变量．的取值情况可由下表给出： 样本点 黑球数X 样本点 黑球数X （1，2，3） 3 （1，4，5） 1 （1，2，4） 2 （2，3，4） 2 （1，2，5） 2 （2，3，5） 2 （1，3，4） 2 （2，4，5） 1 （1，3，5） 2 （3，4，5） 1 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量的一个确定的取值，因此变量是样本空间上的函数： 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻画随机事件．例如 表示取出2个黑球这一事件； 表示至少取出2个黑球这一事件，等等． 定义2.1 定义在概率空间上，取值为实数的函数 称为上的一个随机变量． 随机变量的取值由样本点决定，反过来，取某一特定值的那些样本点的全体构成的一个子集，即．同样，设为实数集的一个子区间，使得的值落在中的那些样本点全体也是的一个子集．为了研究随机变量的统计规律，我们均假设这些子集是随机事件，也假设这些事件的可数并、交及补都是事件，并称这些事件为随机变量生成的事件． 注意：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．如： 掷一枚骰子，我们定义了随机变量表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义： ， 等等． 二、离散型随机变量的概率分布 定义2.2 设是定义在概率空间上的一个随机变量，如果的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称是一个离散型随机变量． 要掌握一个离散型随机变量的统计规律，必须且只需知道的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率． 定义2.3 设是离散型随机变量，其全部可能取值为，记 ，， 则称为的概率分布．有时也将记为，用下列表格形式来表示，并称之为的概率分布表： … … … … 离散型随机变量的概率分布必然满足下列性质： （1），； （2）． 特别地，对任意，有 ． 一般地，若是一个区间，则 ． 分析、讲解教材例题，并适当补充下列例、习题： 1．（概全学P.61）一袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5．现从中一次取3个球，以表示取出的3个球中的最小号码，试求的概率分布． 分析：的可能取值为3，2，1． ，，． 则的概率分布为 1 2 3 0.6 0.3 0.1 2．（概典高P.50）设随机变量的概率分布为： ，， 则 1 ． 分析：本题是求概率分布中所含的未知参数，这往往利用概率分布的性质：非负、累计和为1．所以有． 3．（概浙高P.40）设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过．以表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求的概率分布（分布律）(信号灯的工作是相互独立的). 分析：以表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，有的概率分布为： 0 1 2 3 4 以代入，得 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 4．（概浙PPT）设离散型随机变量的分布律为 0 1 2 3 4 5 求，，． 分析：， ， ． 小结：直接求离散型随机变量的概率分布，通常要借助于古典概型、加法公式、乘法公式、独立性等事件的概率计算公式．试验的条件不同，如有放回抽取与无放回抽取方式不同，相应的随机变量的概率分布就不同．求出的概率分布，可用来验证其正确性，也可利用它来确定分布律中的待定系数． 三、分布函数 离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的统计规律提供了一目了然的描述．然而对那些取值非可数的随机变量，如果同离散型随机变量一样，通过罗列取每一个值及其相应的概率来描述它们会遇到不可克服的困难．其一，这类随机变量的非可数个取值无法一一列举出来；其二，取连续值的随机变量，它取某个特定值的概率往往是0．不过，对连续值的随机变量，我们往往关心的是它的取值落在一定的范围（比如区间或区间的并）的概率，而不关心它取某个特定值的概率．因此，对这类随机变量，我们希望能够对其取值落于任何一个区间上的概率给出描述． 分析、讲解教材例2.4． 定义2.4 设是一随机变量，则称函数 ， 为随机变量的分布函数，记作． 对于任意实数，（），有 ． 因此，若已知的分布函数，我们就知道落在任意区间上的概率，在这个意义上，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性． 一个随机变量的分布函数的性质： （1）单调性 若，则； （