单调性教案.docVIP

1.3.1（1）函数的单调性 【教学目标】 【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用， 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点. 教学过程： 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量 变化时，函数值有什么变化规律？ 函数在整个定义域内 y随x的增大而增大，图像由左到右是上升的； 函数在整个定义域内 y随x的增大而减小，图像由左到右是下降的． 函数的图像变化规律： 在y轴的的左侧y随x的增大而减小．在y轴的的右侧y随x的增大而增大。 在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． 即对任意的且时，都有f(x1)f(x2) 则称在区间上单调递增 (3)函数的图像变化规律如何： 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小． 能不能说在整个定义域上是减函数？ 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数． 定义：设函数的定义域为I，区间DI，如果取区间D中的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就称函数在区间D上是增函数，如图（1） 区间D称为y=f(x)的单调增区间； 当 时，都有 ，那么就称函数在区间D上是减函数, 如图（2）区间D称为y=f(x)的单调减区间 判断题： ①已知因为，所以函数是增函数． ②若函数满足则函数在区间上为增函数． ③若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数． ④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数. 通过判断题，强调四点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．如图所示 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。 例题讲解 例1书本P29 注：（1）函数在区间上为减函数，这个区间为一个左闭右开区间，那么能否将这个区间写成呢？ 解析：对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但是对于不在函数定义域内的点，单调区间就一定不包括这些点。 （2）函数的单调性是函数在某个区间上的性质： ①这个区间可以是整个定义域，如在上是增函数； ②这个区间可以是定义域真子集，如在上递减，在上递增； ③有的函数不具单调性，如函数，在定义域R上不具单调性；再如，其定义域不为区间，所以不能说在定义域上具有单调性。 （3）能够说函数在区间上是减函数呢？ 解析：①当时，，不符合单调递减函数的定义，故不对； ②高中数学只研究函数在定义域内的某个区间上的单调性问题，而能不能说是某个区间呢？显然不是； ③能否说函数在其定义域内是增函数呢？函数的定义域为，同样不是一个区间，所以说法也不对。 归纳：高中阶段，凡是函数的单调区间，不能用符号。 例2 证明函数在（0，+）是减函数． P29例2 思考：如何证明在（-上的单调性。 2．归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）定号、定论． 练习：证明函数在上是增函数． 注：1.判断函数的单调性或单调区间的方法： 判断函数的单调性或单调区间时，（图像法）可以结合函数的图象升降进行判定，（定义法）对于一般函数需用增、减函数定义加以证明 （直接法） （1）已知