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专题一　运动型问题 【试题特点】 聚焦近几年中考的运动型问题，运动型问题主要包含质点运动型问题与图形变换型问题两类．是以各种几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题，探求图形中的某一元素的运动变化中，其结论的不变或变化规律．它集代数、几何知识于一体，题目灵活、多变，动静结合，较好地渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想，综合性较强，已成为中考热点试题． 【试题分类赏析】 (一)质点运动型问题 1．在选择题中探究两变量的函数大致图象． 例1 如图15-1，AB是半圆O的直径，点P从点O出发沿OA-AB-BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是 ( ) 【分析】P点在线段OA上时，s随着t的增大而增大，P点在半圆AB点上时，在PO的长始终等于半径，P点在线段OB上时，s随着t的增大而减小． 【解】选C． 【说明】此类选择题主要借函数图象反映两变量的变化趋势，可通过抓住一些特殊点和一般点进行比较，揭示了运动与静止，一般与特殊的内在的联系． 2．填空题探究点在运动过程中的最值问题． 例2 如图15-2，在锐角三角形ABC中，AB＝，∠BAC＝45(，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______． 【分析】AD是∠BAC的平分线，AD所在直线是∠BAC的对称轴，则在边AC上必存在点N的对称点N(，则MN(＝MN，则BM＋MN＝BM＋MN( ≥N(B．当N，M，B三点共线时，BM＋MN最小，就等于N(B．而N(B最小即N(B⊥AC时，所以BM＋MN的最小值为4． 【解】4． 例3 已知边长为的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ． 【分析】取AB的中点D，连结CD、OD，则CD=a，OD=，求OC的长的最大值，就是求OC≤CD＋OD＝a，OC的长的最大值a． 【解】 a． 【说明】例2这种类型的题目比较普遍常见，利用图象的对称性和两点之间线段最短求两线段之和的最小值，而例3不常见，图中Rt△ABO随着动点A，B的移动形状发生改变，正△ABC随着动点A，B的移动边长，形状没有改变，但位置发生改变，但Rt△ABO中斜边上的中线始终等于斜边的一半，正△ABC中AB边上的中线始终等于倍，应用第三边小于两边和(定值)，当且仅当O，D，C三点共线时等于号成立．例2和例3恰好都运用了当三点不共线时，两边之和大于第三边，当三点共线时，等于号成立．当等号成立时，是左边两线段和的最小值就等于右边线段，右边线段的最大值就等于左边的两线段之和． 3综合题中探究动点问题中的定值． 例4 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P,Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标； (2)当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程； (3)当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 【分析】本题的(2)题考查无论为何值，PA＝QC的等量关系不变，以此等量关系来列方程求t的值；第(3)题△PQF面积的值与底和高有关，本题以PF为底，高是定值(平行线间的距离处处相等)，观察底PF是否与t无关，也是定值．本题涉及三组相似三角形的相似比，最终确定的△QEC与△FAE相似比是1：4，从而AF＝OP，从而PF＝AO＝18. 【解】(1)，令y＝0得， ∴， ∴．令得即． ∵BC∥OA， ∴点C的纵坐标为－10， 由得， 即且易求出顶点坐标为． ∴，顶点坐标为． (2)若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，而故得． (3)设点P运动秒，则，， 说明P在线段OA上，且不与点OA重合， ∵QC∥OP知△QDC∽△PDO， ∴，则 ∵△QDE∽△QPF ∴∴ ∵△QEC∽△FEA ∴ ∴ ∴PF＝OA＝18 又点Q到直线PF的距离，∴， 于是△PQF的面积总为90. 【说明】动点问题实质就是考查学生用字母表示线段的能力，在因动点而导致的图形的变化过程中能牢牢把握其中的量与量之间的关系，运动路程用速度*时间来表示，剩余路程用线段长减运动路程，相似三角形对应线段成比例，用相似比来表示对应线段.本题结合