131函数的单调性与最大(小)值教案.docVIP

1.3.1 函数的单调性与最大(小)值（2课时） 一、教学目标 (1)使学生理解函数单调性的概念，并能掌握判断和证明某些函数的单调性的方法； (2)通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力，通过例题讲解，培养学生的逻辑思维能力； (3)理解函数的最大（小）值及其几何意义； (4)学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 二、教学重点与难点 重点：形成增（减）函数的形式化定义；函数的最大（小）值及其几何意义． 难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性;利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三、教学过程 Ｔ：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的一些性质。 1.问题情境 T：由下图，你能说出下列函数图象有何特征？ 启发学生由图象（主要是升降变化）获取函数性质的直观认识，从而引入新课。 2.建构教学 T：再来看两个特殊函数：一次函数和二次函数（由学生作出图象）， 　　　　　　图１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图２ 从左到右，这两个函数的图象是如何变化的？ Ｓ：图１是上升的；图２的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的。 Ｔ：从上面的观察分析可以看出，不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。 T：所谓的从左到右观察图象，体现在函数身上是哪个量发生了怎样的变化？ S：是值由小变大。 T：图象的上升或下降又可以用函数的哪个量的变化来描述？（以函数为例） 3.教学设计 用计算机作出函数的图象，在上面任选一点P，测出其坐标，引导学生观察当点P在函数图象上“按横坐标（即自变量）增大”的方向移动时，点P的纵坐标（即函数值）的变化规律。 S：图2中图象在轴右侧“上升”，也就是，在时，随着的增大，相应的值随之增大；图象在轴左侧“下降”，也就是，在时，随着的增大，相应的值反而随之减小。 T：如何用数学符号语言描述这种变化趋势呢？（利用Excel得到数据） 教学设计：（1）让学生在区间上，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表1；（2）让学生在区间上，从9开始，每隔0.1个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表2；（3）让学生在区间上，从10开始，每隔10个单位取一个自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表3；（4）让学生在区间上，任选一个自变量的值作起点，任选一个单位取其它自变量的值，然后用计算机算出其对应的函数值，得到表4。 根据以上表格，引导学生得出结论：四个表格都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大。即函数在上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于上任意的，当时，都有。我们就说函数在区间上是增函数。 T：你能仿照这样的描述，说明函数在区间上具有的性质吗？ 学生给出回答，并加以命名，称其在该区间上是减函数。 T：一次函数具有什么性质？ T：以上两个函数都是具体的，那对于一般函数，如何定义其为增函数（或减函数）？ 引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善后给出增（减）函数、单调性、单调区间的定义。 T：能否将改为，函数在该区间上仍是增函数？改为？ S：都可以，不影响单调性。 T：这说明什么问题？ S1：两个相邻单调区间的公共端点，可任意放入哪个区间。 S2：也说明对于单独一点，由于其函数值是唯一确定的常数，故没有增减变化，不存在单调性问题。 S3：还说明单调性是针对区间而言的。 T：一次函数在整个实数集上是增函数，我们能说二次函数在整个实数集上是增函数（或减函数）吗？ S：不能。该函数有两个单调区间。 T：这又说明了什么问题？ S：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，并不是所有的函数在其定义域上都具备单调性。 T：1.2.2小节例3中的函数是否具有单调性？ S：不具备。因为该定义域不是区间。 通过设置这三问，使学生加深对定义的理解。 4.新课教学 函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动） 注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)