2014届高考数学一轮必备考情分析学案24《指数与指数函数》.docVIP

2.4指数与指数函数 1．考查指数函数的图象与性质及其应用． 2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，nN*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示． 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)． n＝a. 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝ |a|＝. 负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 正整数指数幂：an＝a·a·…· (nN*)； 零指数幂：a0＝1(a≠0)； 负整数指数幂：a－p＝(a≠0，pN*)；正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n N*，且n＞1)； 负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、nN*且n＞1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 aras＝ar＋s(a＞0，r、sQ) ②(ar)s＝ars(a＞0，r、sQ) ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，rQ)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1. 在(－∞，＋∞)上是减函数 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)； (2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3). 解　(1)原式＝ ＝a－－－·b＋－＝. (2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3) ＝－a－b－3÷ ＝－a－·b－ ＝－·＝－. 【1】 计算： (1)0.027－－－2＋－0； (2)－·. 解　(1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1 ＝－49＋－1＝－45. (2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝. 二　指数函数的性质 【例2】已知函数f(x)＝·x3(a＞0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性； (3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 解　(1)由于ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0. 函数f(x)的定义域为{x|xR，且x≠0}． (2)对于定义域内任意x，有 f(－x)＝(－x)3 ＝(－x)3＝(－x)3 ＝x3＝f(x)， f(x)是偶函数． (3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1， ax－1＞0，＋＞0. 又x＞0时，x3＞0，x3＞0， 即当x＞0时，f(x)＞0. 又由(2)知f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立． 综上可知，当a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立． 当0＜a＜1时，f(x)＝. 当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0， ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意； 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a＞1. 【2】 设f(x)＝＋是定义在R上的函数． (1)f(x)可能是奇函数吗？ (2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性．解　(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，f(－x)＝－f(x)，即＋＝－， 整理得(ex＋e－x)＝0， 即a＋＝0，即a2＋1＝0显然无解． f(x)不可能是奇函数． (2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即＋＝＋， 整理得(ex－e－x)＝0， 又对任意xR都成立，有a－＝0，得a＝±1. 当a＝1时，f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性， 任取x1，x2(0，＋∞)且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ ex2－e－x2 ＝， x1，x2(0，＋∞)且x1＜x2， ex1＋x2＞1，ex1