量子力学前沿复习题.pdfVIP

4. 习 题（打*号的题目只作参考） 1）试证明：当两个厄米算符A,B 满足对易关系[A ,B ] i 时，算符A,B 将满足Heisenberg  不确定性关系∆A ⋅∆B ≥ 。 2 证明：将两个厄米算符 ψ A −A 和B −B 分别作用于任意状态矢量 ，并用它们构造一个 新的状态矢量 Ψ A =−A ψ +iλ B −B ψ ， ( ) ( ) 其中， 为 的平均值， 是任意实数。 该状态矢量的厄米共轭 A ,B A,B λ † Ψ =Ψ ψ A =−A −iλψ B −B ， ( ) ( ) ( ) 因此，左右矢量的标积 2 2 2 ΨΨ ψ A =−A +iλ[A ,B ]+λ B −B ψ 。 ( ) ( ) 由于任何态矢量的内积必须大于或等于0 ，而且，根据定义 ψ (A −A )2 ψ ≡ ∆A 2 ， ( ) ψ (B −B )2 ψ ≡ ∆B 2 ，上式给出 ( ) 2 2 2 ΨΨ =∆A −λ+λ ∆B ≥0 ( ) ( ) 此方程可视为关于 的二次方程，为了使方程成立，方程的判别式必须小于或等于 ，即 λ 0 2 2 2  −4 ∆A ∆B ≤0 ， ( ) ( ) 由此可以得到不确定性关系  ∆A ⋅∆B ≥ 。 2 命题得证。 2 ）根据Heisenberg 的不确定性原理，一个粒子的坐标和动量不能同时具有确定值。试问：二 粒子体系的两个粒子 的坐标之差ˆˆ 和动量之和 ˆˆ 能否同时具有确定的测 A,B xA −xB p A +p B 值？为什么？ 解：两个力学量同时具有确定值的必要条件是两个力学量对易。由于两个力学量ˆˆ x −x