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历届竞赛多元积分试题集锦
天津市高数竞赛多元积分试题集锦
一、重积分 x y
x y
1 y y
1. [01 年(理工、经管)] 计算 2 y x 1 y x
I ∫1 dy ∫1 e dx =+ ∫1 dy ∫y e dx .
4 2 2
解：先从给定的累次积分画出积分区域图,再交换累次积分次序,得到
1 y y y
y 1 y 1 x 1 3 1
2 x x x x
I ∫1 d y ∫1 e d x + ∫1 d y ∫ e d x ∫1 d x ∫ 2 e d y ∫1 x (e− e ) d x e− e .
y x 8 2
4 2 2 2 2
2
2. [02 年(经管)] 将二重积分I ∫ 2 dx ∫ 2 x −x f (x, y )dy 变换积分次序得
1 2−x
2
1 1+ 1−y
I = ∫0 dy ∫2−y f (x, y )dx .
3. [02 年(经管)] 设 D 为由折线 x + y 1所围成的区域，D ，D ，D 为D 在第 1、2、
1 2 4
2
4 象限部分，则∫∫ e− (x + y ) dxdy （ D ）
D
2 2
（A ）4∫∫ e− (x + y ) dxdy ； （B ）4∫∫ e− (x + y )dxdy ； D2 D1
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