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习题2解答 第2章 数列的极限 A. 数列极限的概念、性质及计算 一．判断题（正确打√并给出证明，错误打×并给出反例） 1．若limab 0，则必有lima 0或者limb 0. （×） n n n n n n n 解 当 和 的极限都不存在时，有可能limab 0. 例如： {a } {b }n n n n n n n ， ， a 1(1) b 1(1)n n 和 的极限都不存在，但 2n ，所以limab 0. {a } {b } a b 1(1) 0 n n n n n n n 12n 1 2 n 2. lim lim lim lim 0. （×） 2 2 2 2 n n n n n n n n 解 12n 1 nn( 1) nn( 1) 1 lim lim  lim  . 2 2 2 n n n n 2 n 2n 2 注 和的极限等于极限的和，指每一项的极限都存在，并且是有限项. 3. 数列 a 发散的充分必要条件是 a 至少有一个子列是发散的. （√）     n n 解 如果 a 中存在发散子列，那么 a 本身是发散的，因为如果 a 收敛，则它的  n  n  n 任何子列也收敛，并且极限相同. 反之，如果 a 发散，则它就是它自己的一个子列，  n 所以至少有一个子列发散. 也可以证明它存在真子列(去掉 a 中无穷多项的子列)发  n 散. 用反证法，如果它的每个真子列都收敛，那么 a 与 a 都收敛，但极限值     2n 2n1 不同，否则 a 收敛，矛盾！再取 a 的一个子列 a ，将 a 与 a 按原 a  n          n 2n