《数值分析》第四讲：数值积分 幻灯片.pptVIP

第四章：数值积分与数值微分 得Gauss点 （2） 过点(1,-1),(3,1)作直线得 即 所以 由三次Legendre多项式 第四章：数值积分与数值微分 根据代数精度得 则三点Gauss-Legendre求积公式为 即 解得 第四章：数值积分与数值微分 第四章：数值积分与数值微分 Simpson公式具有三次代数精度 而 第四章：数值积分与数值微分 定理 n为偶数时求积公式 至少具有n+1次代数精度。 2、数值积分的误差分析 以梯形公式误差为例 第四章：数值积分与数值微分 积分中值定理 如果 在 保号且可积， 使 则存在 特别地，如果 则有 因为 保号且可积，由积分中值定理得 第四章：数值积分与数值微分 所以 第四章：数值积分与数值微分 同理 误差取决于区间[a,b]的长度。 第四章：数值积分与数值微分 3、复化求积法 第一步：等分区间： 第二步：在区间 上用Newton-Cotes公式求积 第三步：求和 第四章：数值积分与数值微分 （1）复化梯形公式 （2）复化Simpson公式 （3）复化Cotes公式 第四章：数值积分与数值微分 4、复化求积公式的误差 因为复化梯形公式为 则 第四章：数值积分与数值微分 同理，复化Simpson和复化Cotes公式的误差分别为 例 第四章：数值积分与数值微分 a=0; b=2.5; n=4; h=(b-a)/n; x=a:h:b; y=-x.^3+2*x.^2+2*x+1; s=0.0; for k=2:length(x)-1 s=s+y(k); end tn=h*(y(1)+y(length(x))+2*s)/2; 复化梯形程序 第四章：数值积分与数值微分 a=0;b=2.5;n=4;h=(b-a)/n; x=a:h:b; y=-x.^3+2*x.^2+2*x+1; s1=0.0; for k=2:length(x)-1 s1=s1+2*y(k); end s2=0.0; for i=1:length(x)-1 x0=(x(i+1)+x(i))/2; y0=-x0^3+2*x0^2+2*x0+1; s2=s2+4*y0; end tn=h*(y(1)+s1+s2+y(length(x)))/6; 第四章：数值积分与数值微分 复化Simpson程序 第四章：数值积分与数值微分 第四章：数值积分与数值微分 §4.3 Romberg算法 第四章：数值积分与数值微分 考察 可以得到两个结果 结果一： 区间二分后的误差是二分前后差值的三分之一。 第四章：数值积分与数值微分 结果二： 其中 二分前的步长 第四章：数值积分与数值微分 即 令 则 第四章：数值积分与数值微分 同理，由 直接验证得 又 第四章：数值积分与数值微分 记 称Romberg公式 解： 令 则令 因此 例：计算 对照值 （1）二分前的步长 （2）二分前的区间中值 二分点 第四章：数值积分与数值微分 （1）二分前的步长 （2）二分前的区间中值 第四章：数值积分与数值微分 0.0000000 0.9460831 0.9460831 　 0.0000001 0.9460831 0.9460830 　 0.0000004 0.9460831 0.9460827 　 0.0000016 0.9460831 0.9460815 　 0.0000062 0.9460831 0.9460769 　 0.0000235 0.9460831 0.9460596 　 0.0000981 0.9460831 0.9459850 　 0.0003922 0.9460831 0.9456909 　 0.0015696 0.9460831 0.9445135 　 0.0062898 0.9460831 0.9397933 　 二分次数 区间个数数 第四章：数值积分与数值微分 第四章：数值积分与数值微分 第四章：数值积分与数值微分 0.0000000 0.9460831 　 0.0000001 0.9460830 　 0.0000004 0.9460827 　 0.0000016 0.9460815 　 0.0000062 0.9460769 　 0.0000235 0.9460596 　 0.0000981 0.9459850 　 0.0003922 0.9456909 　 0.0015696 0.9445135 　 0.0062898 0.9397933 　 第四章：数值积分与数值微分 Romberg算法 §4.4 Gauss公式 第四章：数值积分与数值微分 如果适当选取求积公