《数学物理方法》课程二 幻灯片.pptVIP

主讲教师:冉扬强 第二章 解析函数 主要内容 (1)、复变函数导数的概念 (2)、哥西—黎曼条件及复变函数可微的充要条件 (3)、解析函数的定义，已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法 (4)、共轭调和函数的概念，解析函数的几何意义 (5)、初等函数的定义和基本性质 重点和难点 重点：哥西—黎曼条件；解析函数的定义； 已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法；共轭调和函数的概念及其几何意义；初等函数的定义和基本性质 难点：初等多值函数及其支点，支割线的概念；已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法 §2.1 解析函数 一、导数的定义　设函数 在区域D上有定义， 且 ，如果极限 　　　　　　　　　　　　　存在，则称此极限为函数 在z 点的导 数，记为： 或 ，这时称函数 在z 点可微 (或可导）. 显然，函数 必须在点z 连续，才有可能在 z 点可导. 讨论： 1) 复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数。例如： 2)复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质上却有很大的区别，这是因为实变函数 只沿实轴逼近零，而复变函数 却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多. 二、哥西-黎曼条件 下面讨论复变函数可微的充分必要条件1、必要条件：　若 在 处可微，即　 　　　　　　　　　若记 , 其中, 则前式可变为 　　　　　　　　　　　　　 由于 无论按何方式趋于零，上式总成立。先看 沿实轴趋于零的情况。此时  　 　　　再让 沿虚轴趋于零。此时 比较两式得　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　 　 ——哥西-黎曼条件(C—R条件) 讨论：　 1) C--R条件为复变函数可微的必要条件，凡不满足C--R条件的函数，它在该点一定不可微. 例如 ，所以：　　 由于　　　　　　　　　　 由于偏导数虽然存在，但不满足C--R条件，因而 在复平面上处处不可微. 　 2) C--R条件不是复变函数可微的充分条件. 例如：函数 在z = 0点满足C--R条件，但不可微。由于 ， ，于是 显然满足C--R条件，但在z=0点并不可微，因为　　 　　　　　　　 当 沿射线 趋于零时， 与k 有关，沿不同的射线，k 值不同，所以该极限不存在，从而函数在z = 0点不可微.　2、充分必要条件　如果C--R条件加上一附加条件，就可得到可微的充分条件。　 定理： 在 可微 ， 在点（x , y）处可微，并满足C--R条件. 由上述定理可得：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实部与虚部通过C--R条件联系起来。 在极坐标系中， ， 哥西-黎曼条件为　　　　　　　　　　 三、解析函数的定义　　定义：如果函数 在区域D上处处可微，则称 是区域D上的解析函数，或称 在D上解析． 讨论：　1)有时说：“函数 在